数学建模

Question

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？

4、独家销售商品广告问题：对于独家销售商品广告而言，我们假定商品销售与广告之间满足如下条件：
（1） 商品的销售速度是因为做广告而增加，但这种增加有一定限度，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于它的极限值，当速度达到它的极限值时，无论再用何种形式做广告，销售速度都将减慢。
（2） 自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减小。
（3） 令s(t)为t时刻商品销售速度；A(t)为t时刻广告水平（以费用表示）；M为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限； 为衰减因子，即广告作用随时间增长而自然衰减的速度， 为常数。试问广告与销售之间的内在联系（数学关系式）如何？如何评价不同时期的广告效果

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Answer 1

一.问题分析和数学模型

由题设，在初始时刻0~5岁、6~10岁、11~15岁的三个年龄段动物数量分别为：

=1000， =1000， =1000

以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量

X=[x1 x2 x3]T

表示。以五年为一个时间段，记

X(k) = [x1(k) x2(k) x3(k)]T

为第k个时间段动物数分布向量。当k= 0，1，2，3时，X(k) 分别表示现在、五年后、十年后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第k个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。由此得第一个年龄组在第k+1个时间段的数量如下

同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式

建立数学模型如下

(k = 0，1，2，3) （1）

或写成矩阵形式本回答被提问者采纳

Answer 2

Answer 3

我可以试着用过去的数学建模方法帮你解释一下第二个问题，但时隔久远，答案仅供参考。

大包装比小包装便宜的现象我们可以基于以下的假设来思考：
1）包装一件该商品的成本是某一固定成本加上商品外盒表面积的包装成本，前者为一常数，后者与包装的表面积成正比。
2）假设我们考虑的商品是正方体。而它的重量与体积成正比。

那么基于以上假设，设小包装的边长是a，大包装边长是2a，两者重量的比是1：8，在包装成本上，小包装=m+6a^2*k，大包装=m+24a^2*k，在m<24a^2*k/7的情况下，大包装的包装成本都会小于小包装。

对于其他形状的包装，都可以用类似的方法计算。而m可以理解为固定成本，比如包装机的折旧费等等，k表示虽包装面积增加的单位成本，比如纸张和油墨费用等等。