第1个回答 2019-02-27
(1)题
|λI-A|
=
λ-2
2
0
2
λ-1
2
0
2
λ
=
按第1列展开，得到
=
(λ-2)[(λ-1)λ-4]
-2(2λ)
=(λ-2)(λ-1)λ-4(λ-2)-4λ =(λ-2)(λ-1)λ-8(λ-1)
=
(λ-1)(λ(λ-2)
-8)
=
(λ-1)(λ+2)(λ-4)=
0
解得λ=1,4,-2
然后求出相应的特征向量：
向左转|向右转
显然这3个特征向量是两两正交的（因为实对称阵的不同特征值下的特征向量正交）
下面，只需将其都单位化，即可得到正交矩阵：
(-1,-1/2,1)T
→
(-2,-1,2)T
/3
(2,-2,1)T →
(2,-2,1)T /3
(1/2,1,1)T →
(1,2,2)T /3
则得到正交矩阵P=
-2/3
2/3
1/3
-1/3
-2/3
2/3
2/3
1/3
2/3
使得P⁻¹AP=diag(1,4,-2)
(2)
向左转|向右转
再求出相应特征向量
向左转|向右转
属于特征值1的这两个特征向量，不是正交的，
使用施密特正交化方法：
先正交化，
(-2,1,0)T →
(-2,1,0)T
(2,0,1)T →
(2,0,1)T
+4(-2,1,0)T/5
= (2,4,5)T/5
(-1/2,-1,1)T → (-1/2,-1,1)T
然后单位化，即可得到正交矩阵：
(-2,1,0)T
→
(-2,1,0)T/√5
(2,4,5)T/5 →
(2,4,5)T/3√5
(-1/2,-1,1)T →
(-1,-2,2)T/3
则得到正交矩阵P=
-2/√5 2/3√5
-1/3
1/√5 -4/3√5
-2/3
0 √5/3
2/3
使得P⁻¹AP=diag(1,1,10)
相似回答