第1个回答 2018-06-26
解：分享一种解法。∵1/(z-2)²=[-1/(z-2)]'，∴设F(z)=-1/(z-2)。
(1)，当丨z丨<2时，有0<丨z丨/2<1。∴F(z)=-1/(z-2)=1/(1-z/2)=∑(z/2)^n，n=0,1,2，……，∞。∴f(z)=F'(z)=∑(n+1)(z^n)/2^(n+1)，n=0,1,2，……，∞。
(2)，1<丨z-1丨<∞时，有0<1/丨z-1丨<1。∴F(z)=-1/(z-2)=-1/[(z-1)-1]=[-1/(z-1)]/[1-1/(z-1)]=-∑[1/(z-1)^n，n=1,2，……，∞。∴f(z)=F'(z)=∑(n-1)/(z-1)^n，n=1,2，……，∞。
供参考。追问
(1)，当丨z丨<2时，有0<丨z丨/2<1。∴F(z)=-1/(z-2)=1/(1-z/2)=∑(z/2)^n，n=0,1,2，……，∞。∴f(z)=F'(z)=∑(n+1)(z^n)/2^(n+1)，n=0,1,2，……，∞。
(2)，1<丨z-1丨<∞时，有0<1/丨z-1丨<1。∴F(z)=-1/(z-2)=-1/[(z-1)-1]=[-1/(z-1)]/[1-1/(z-1)]=-∑[1/(z-1)^n，n=1,2，……，∞。∴f(z)=F'(z)=∑(n-1)/(z-1)^n，n=1,2，……，∞。
供参考。追问
意思就是说跟据z的定义域展开成1/1-z1的形式，|z1|<1吗，
追答等比级数是在公比q满足丨q丨<1的条件下，才会收敛的。故，将调整展开式在z0的邻域内、满足丨q丨<1的条件来求展开表达式。
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