第1个回答 2023-03-14
数学概念课的教学十分重要，《高中数学课程标准》指出：“正确理解数学概念是掌握数学基本知识的前提。”要使学生正确认识数学概念，由概念的本质属性去鉴别判断，从而恰到好处地运用概念，关键在于教师在课堂教学中讲清概念。现就高中数学选修部分“导数的应用”一章关于“函数的极大值与极小值”的教学，谈谈我对数学概念教学的体会。
一、联系旧知，引入新概念
数学这门学科系统性很强，新旧知识联系紧密，因此，利用旧知识来引入新概念，不仅能使学生对新概念的建立不会感到突然，还可收到“温故而知新”的效果。
学习“函数的极大值与极小值”时，首先指出过去在学习函数那部分内容时，已经会求二次函数的极值，当时对于极大值与最大值、极小值与最小值未加区分，因为二次函数的图像中只有一个“峰”和一个“谷”，这两个概念是统一的。但对一些较复杂函数的讨论中，函数图像有时会出现几个“峰”和几个“谷”，鉴于此，便自然地提出了“函数的极大值与极小值”的概念。
二、数形结合，由直观到抽象
“数”和“形”是整个数学发展过程中的两大柱石，许多数学概念可以通过图形反映出它们的属性。恰当地利用图形，可以使许多抽象的概念直观化、形象化，从而帮助学生正确地理解概念，把握住概念的本质特征。
在学习“函数的极大值与极小值”时，让学生观察教材中图形。首先指出对于一条连续不断的曲线y=f（x）在区间（a,b）内的点x处，值f（x）比在点x附近各点的函数值都小，在点x处，值f（x）比在点x附近各点的函数值都大，从而指出对于点x，x（下降与上升或上升与下降的分界点）处的函数值f（x），f（x）我们称为函数y=f（x）的一个极小值或极大值，x，x分别叫做极小值点和极大值点，并指出函数f（x）在区间（a,b）内的极大值或极小值不止一个，图中f（x），f（x）也是极小值，f（x），f（x）也是极大值，应特别提醒学生的是：函数f（x）在区间（a,b）端点处是否有极值？由极值的图像特征很容易回答。
值得注意的是，借助图形来认识概念，必须从图形中找出规律性的东西，如函数的极大值与极小值的问题从图形上来看，其规律应为：图像为连续不断曲线的函数的极值点就是该函数对应曲线运动方向的转折点。这样便把感性认识用数学语言抽象到理性认识，这就不至于使数学概念在严密性和完备性方面受到损害。只有完成了这一认识质的飞跃，才能使学生正确地理解概念，牢固地掌握概念。
三、抓住关键，揭示概念本质
明确概念就是明确概念的内涵和外延。概念的内涵揭示概念的本质属性，即概念所反映的全体对象（外延）与其他事物相区别的那些属性。因此，在概念的教学中，要抓住关键进行剖析，让学生体会透其含义，揭示其本质，这样不仅能把学生从死记硬背定义的误区里拉出来，而且可使学生对概念理解更深刻，掌握更牢固，运用更精准。
如“函数的极值”可以这样定义：“如果函数y=f（x）在点x的附近有定义，并且y=f（x）的值比在点x附近所有各点的函数值都大（或都小），我们就说f（x）是函数f（x）的一个极大值（或极小值）。”如何正确理解这一概念？首先指出定义中“函数y=f（x）在点x的附近有定义”是前提，因为函数f（x）的极值是与x点附近所有各点的函数值相比较而来的，如果函数f（x）不是在点的附近有定义，那么函数的函数值就不存在了，也就无从比较。同时，对于“附近”两字如何理解，也有必要强调这是揭示极值属性的关键字眼，我们可以用“无限接近于点x”或“离点x要多近有多近的点”并结合图形来解释“附近”二字，这样学生易于接受。为进一步揭示函数极值的本质特征，接着强调两点：
（1）函数的极值是在一点附近的小区间内定义的，因此是局部性的。（2）定义f（x）中说是函数f（x）的一个极大值（或极小值），可以结合教材图形指出函数的极大值（或极小值）在其定义区间内不是唯一的，而且在某一点的极大值（或极小值）可能小于（或大于）在另一点的极小值（或极大值）。通过这样的剖析，学生便能正确地理解和掌握这一概念了。
四、设计问题，启迪思维，及时巩固概念
数学概念，从表面上来看，似乎是死的东西，学生一开始获得新概念时思维还是孤立的、静止的，掌握也是不牢固的。要使学生学会，并把知识转化为能力，这不是要求学生能死记硬背定义、生搬硬套所能奏效的，而应该授之以法，这就要求教师能针对学生实际设计问题，进行启发诱导，从而打开学生思路，使学生能灵活地运用概念去解决问题。
在学完函数极值概念后，给出这样两个函数：y=x和y=|x|，让学生判断它们在x=0是否是极值点？对于函数y=|x|，x=0是该函数所对应曲线运动方向的转折点，是极小值点，且函数y=|x|的极小值为0。对于函数y=x，x=0不是该函数所对应曲线运动方向的转折点，因此x=0不是函数y=x的极值点。进一步引导学生画出两个函数图像，直观看出两个函数是否有极值。这还不够，要引导学生观察，容易发现，两个函数在点x=0处的切线都平行于x轴，即f′（x）=0，这时又提出问题：“若f′（x）=0，则函数f（x）在x=x处是否有极值？”通过函数y=x和y=|x|在x=0处极值存在情况的对比，学生容易发现：f′（x）是函数f（x）在x=x处有极值的必要条件，不是充分条件。这样做使学生加深了对函数极值概念的理解，同时也为下节学习求函数极值的方法奠定了基础。
数学概念课的教学方法有多种多样，如语言的准确使用，板书的精心设计，多媒体等教具的使用都有助于学生对概念的理解，但上述四个方面是学生学好概念的关键。