连续函数在闭区间上的最大最小值定理证明是什么？

Question

如题所述

Answer 1

当函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数时，存在c属于[a,b]，d属于[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。
在数学分析中，极值定理说明如果实函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定存在至少一个的最大值和最小值，即[a,b]区间内至少存在两点存在x1和x2，对任意
恒有
有界闭区域上的二元连续函数也有类似于一元函数的最值定理。同理，根据有界性定理，可得在闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界，即存在实数m和M，使得：m≤f(x)≤M。
这表明极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。
扩展资料：
证明最值定理的基本步骤为：
1、证明有界性定理。
2、寻找一个序列，它的像收敛于f(x)的最小上界。
3、证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
4、用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。
5、同理证明最大下界。