判断函数的极值不能仅仅依靠导数的定义，因为导数的定义主要是用来确定函数在某一点上的瞬时变化率，即斜率，或者说是函数在该点的切线斜率。当我们说“导数”时，通常是指一阶导数，它提供了函数增加或减少的信息，但不足以确定极值的存在。
在数学分析中，极值是指函数在某个区域内取得的最大值或最小值。要判断一个函数在某点是否有极值，我们需要考虑以下几个要素：
一阶导数测试：如果函数 ( f ) 在某点 ( x_0 ) 的一阶导数 ( f'(x_0) ) 为0，这表明函数在 ( x_0 ) 点的切线是水平的。然而，这并不保证 ( x_0 ) 是一个极值点，因为这个点可能是一个拐点。
二阶导数测试：如果 ( f'(x_0) = 0 )，我们通常会检查二阶导数 ( f''(x_0) )。如果二阶导数是正的，那么 ( x_0 ) 是一个局部最小值。如果二阶导数是负的，那么 ( x_0 ) 是一个局部最大值。如果二阶导数也是零，那么这个测试是不确定的，我们可能需要进一步的分析或使用其他方法。
高阶导数测试：当一阶和二阶导数都是0时，我们可能需要考虑更高阶的导数来判断极值。
导数不仅要存在，还要改变符号：即使在 ( x_0 ) 点导数为0，我们还需要检查导数在通过 ( x_0 ) 时是否改变符号，以确保那是一个极大值或极小值。如果导数的符号在穿过 ( x_0 ) 时没有改变，那么 ( x_0 ) 可能是一个拐点。
简而言之，导数的定义可以帮助我们找到候选的极值点，但确定这些点是否真的是极值，需要更进一步的测试和分析。导数的符号变化、二阶导数的符号，以及导数在某点附近的行为，都是判断一个点是否为极值的重要因素。