求函数Z=x^xy的偏导数

Question

答案是Z=f'x(x,y)=yx^xy(lnx+1),Z=f'y(x,y)=x^(xy+1)lnx,求解答过程

Answer 1

Z=f'x(x,y)=xy*[x^(xy-1)]*y

Z=f'y(x,y)=xy*[x^(xy-1)]*x追问

答案是Z=f'x(x,y)=yx^xy(lnx+1),Z=f'y(x,y)=x^(xy+1)lnx,求解答过程

追答

请问是Z=（x^x）y还是Z=x^（xy）

追问

Z=x^（xy）

追答

Z=x^(xy)
两边取对数：
lnZ=xylnx
两边同时对x取导有
Zx/Z=ylnx+xy/x=ylnx+y
有：Zx=x^(xy)[ylnx+y]=yx^xy(lnx+1),

两边同时对y取导有：
Zy/Z=xlnx
则有：
Zy=xlnx[x^(xy)]=x^(xy+1)lnx

追问

Zx=x^(xy)[ylnx+y]，为什么要乘起来？

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Answer 2

自变量在指数上的，简单的方法是取对数，相信见到过这种方法奥追问

麻烦写一下过程吧

追答

想问一下是Z=y*x^x ?若是，则
解：两边取对数
lnZ=xlnx+lny,
对x取偏导
Zx/Z=lnx+1
两边同时乘以Z
Zx=Z(lnx+1)=yx^x(lnx+1)
对于y的偏导数直接求就可以了
Zy=x^x

追问

是Z=x^xy

追答

是Z=x^(xy)吧？若是
解：两边去对数
lnZ=lnZ(x,y)=xylnx----------Z看成是x,y的二元函数,取x的偏导数，把y看成时常数，反之亦然
取x的偏导数
Zx/Z=ylnx+y=y(lnx+1)
Zx=Z*y(lnx+1)=y(lnx+1)x^(xy)
取y的偏导数
Zy/Z=xlnx
Zy=xlnx*Z=x^(xy+1)lnx

追问

Zx/Z=ylnx+y=y(lnx+1)这步怎么来的哟？？

追答

先看Zx/Z
取x的偏导数
(lnZ(x,y))是复合函数，由外向内，(lnZ(x,y))'=Zx/Z
右边：y看成是常数则，右=yxlnx，把它看成两个函数x和lnx的乘积
求导：ylnx+y=y(lnx+1)
对y的偏导数同理
任何一本高等数学书都会有类似的例题，可参考

Answer 3

z = x^(x y)
lnz = xylnx
(1/z)f'x(z) = xy(1/x) + (lnx) (y)
= y+ylnx
f'x(z) = (1+lnx)z = y(1+lnx)(x^(xy))

lnz = xylnx
(1/z) f'y(z) = xlnx
f'y(z) = z(xlnx) =(z^(xy) ) xlnx追问

这是怎么来的哟lnz = xylnx，同取对数有公式吗

追答

把左右两边进行ln
e.g
y = x^a
lny = alnx

追问

那怎么变成这种形式了？lnz = xylnx

追答

z = x^(xy)
lnz = xylnx