自然数（natural number） ，是 非负（目前课本中已将0列为自然数）/正整数 （1, 2, 3, 4……）。
自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。
自然数组成的集合是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以 N 来表示它。（以N*表示除0之外的自然数）自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。
自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆，2000年左右之前的中国小教材一般 不 将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中国小教材中，普遍将0 列入 自然数。
基本介绍
中文名 ：非负整数 外文名 ：nonnegative integer 分类 ：奇偶性、因数个数 性质 ：运算、带余除法等 别称 ：自然数
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定义
为了给出自然数的严格定义，皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理，被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
1是自然数； 每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+1。n+1也是自然数； 如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1，那么m = n； 1不是任何自然数的后继者； 如果某个集合 S 具有性质：
1在 S 中； 若 n 在 S 中，则 n+1 也在 S 中。
那么 S = N 。（公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理） 若将0也视作自然数，则第一条公理中的1要换成0，并且删除第4条。 第五条是归纳公理，它确保了在自然数集中数学归纳法的成立，也是对自然数集形态的一种限定。因为即使是有限集，也存在环形映射满足第二条（自单射）。而只有自然数集才能满足所有这五条的限定。
戴德金-皮亚诺结构 一个
戴德金-皮亚诺结构 为一满足下列条件的三元组（ X , x , f ）：
X 是一集合， x 为 X 中一元素， f 是 X 到自身的映射。 x 不在 f 的值域内。（对应上面"定义"一节的公理4） f 为一单射。（对应上面的公理3） 若 A 为 X 的子集并满足： x 属于 A ； 若 a 属于 A ，则 f （ a ）亦属于 A
符号
分类
奇偶性
因数个数
性质
运算
带余除法
序
无限性
由自然数的有限序列组成的集合 整数集 有理数集 代数数集 可数个可数集合的并集
自然数集的势严格小于实数集的势，即两者间不能建立一一对应（详见对角论证法）。事实上，实数集的势是 ，即自然数集的幂集的势。
自然数列
历史
争论