Topic:线性变化的思想以及它同矩阵的关系
线性变换是操纵空间的一种手段;
矩阵·向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径;
反例如下:
还有一种特殊情况,就是原点没动,直线也依旧是直线,但是直线间不是等距的,因此对角线变为非线性的了,如下图所示:
我们二维平面接触最多的就是标准的(i,j)平面,这是一组正交基,但是假如我选择随意的某一组变量作为基就会相应地比较于(i,j)产生拉缩或者旋转。
比如下面这个2X2矩阵,假设(x,y)=(3,-2)就是对应的变换后的i轴,j对应;
ps. (3,-2)是相对于(0,1),(1,0)正交基做了转换的。
因为这个矩阵是从标准的正交基转换过来的,包含了转换信息,因此把它当作新的基的时候,再对任意向量做乘法,就相当于:“把我自己承受过的痛楚也让你来尝试尝试吧!”(金木研Vs白虎)
这里的计算方式跟学校里面学的貌似不一样啊,一般是左边的行乘以右边的列算出结果放到对应位置即可,但这里是右边的行乘以左边的然后做矩阵相加操作。
为什么这么操作?
个人感觉是这样更容易理解,比如是对基向量做缩放再相加的操作。如下图所示,其实两种算法都是等价的,用视频中这种方式更能只管理解矩阵的画面效果。
推广到一般化,如下图所示,用字母代替,这就表示了 它包含了一个描述线性变换的信息。
因此我们可以把矩阵的列当作变换后的基向量,然后对它做拉伸就是计算结果。同时也是对该向量做了线性变换对比于正常基。
现在我们有这么个目标向量(x,y)需要 对其也做同样的线性变换 ,因此我们直接将得到的矩阵跟这个向量做乘法就好了,操作转移~
这里有个剪切操作,i方向上不变,所以还是(1,0),j方向上斜着切了一下,因此变为(1,1),我们可以看到坐标系相对于原来的是斜了 (但是为什么要说是剪切呢?) ,因此跟目标向量相乘就是将之做“剪切操作”。
这个很简单,但是很有趣,就是当两个基是线性相关时,说明在一条直线上,因此二维平面就被压缩成一维的了,这特么就是降维打击啊!!!