如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=43．其运
如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=43．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当PC=______时，CQ与⊙O相切；此时CQ=______．（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；（3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．
解：（1）当CP过圆心O，即CP为圆O的直径时，CQ与⊙O相切，理由为：∵PC⊥CQ，PC为圆O的直径，
∴CQ为圆O的切线，
此时PC=5；
∵∠CAB=∠CPQ，
∴tan∠CAB=tan∠CPQ=
| 4 |
| 3 |
∴tan∠CPQ=
| CQ |
| CP |
| CQ |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
则CQ=
| 20 |
| 3 |
故答案为：5；
| 20 |
| 3 |
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=5，tan∠CAB=
| 4 |
| 3 |
∴BC=4，AC=3，
又∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AC?BC=AB?CD，即3×4=5CD，
∴CD=
| 12 |
| 5 |
∴PC=2CD=
| 24 |
| 5 |
在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，
∴CQ=PCtan∠CPQ=
| 4 |
| 3 |
∴CQ=
| 4 |
| 3 |
| 24 |
| 5 |
| 32 |
| 5 |
（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，
∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，
∴CE=BE=2
| 2 |
又∠CPB=∠CAB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=
| BE |
| PE |
| 4 |
| 3 |
∴PE=
| BE |
| tan∠CPB |
| 3 |
| 4 |
3
|