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向量组的秩等于列数
三维
列向量的秩等于
什么?
答:
三维列向量就是一个三行一列的矩阵,
它的秩不超过列数,也就是小于等于1
。根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理:向量组α1,α2,···,αs线性无关等价于R{α1,α2,···,αs}=s。若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则...
如何证明行
向量组的秩等于列
向量组的秩。
答:
(3)AB的极大无关组应该小于或者等于A中行向量的极大无关组所包含的向量数量,而极大无关组中向量的数量就是原
向量组的秩
(4)B同理可证,结果就是R(AB)≤min{R(A),R(B)} 注意两点:(1)行
秩等于列
秩,用
列向量
做是一样的效果。(2)线性无关的向量与某一个可以用他们来线性表示的向...
如何理解最大线性无关
向量组
和
秩
的关系?
答:
线性无关和秩的关系是:如果一个矩阵行向量线性无关,那么这个矩阵就是满秩的,也就是秩等于行数或者
列数
,对于一个向量组来说,向量组线性无关的充分必要条件是这个
向量组的秩等于
向量个数。如果齐次线性方程组Ax=0有k个线性无关的解,那么基础解系所含向量的个数n-r(A)>=k,即有 r(A)。
如何理解矩阵
的秩等于列向量
的长度?
答:
设AB=C,将矩阵B分块为B=(b1,b2,...,bs) ,C分块为C=(c1,c2,...,cs)则AB=(Ab1,Ab2,...,Abs) = (c1,c2,...,cs)即 Abi=ci 其中i=1,2,...,s 可知矩阵C的第i个
列向量
均
是
由矩阵A的所有列向量线性组合而成,而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。既然C可以有矩阵A...
向量组的秩
一定
等于向量
的个数吗?
答:
行
向量组
线性无关和列向量组线性无关的区别 分别称为行满
秩
(r(A)
等于
A的行数)和列满秩(r(A)等于A
的列数
)A行满秩则右可逆,即存在B使得 AB=E 列满秩则左可逆,即存在B使得 BA=E 这个超出了线性代数范围 A列满秩,当且仅当 齐次线性方程组 AX=0 只有零解 A行满秩,则非齐次线性方程组 ...
为什么
向量组的秩等于
向量组个数时向量组就线性无关?
答:
对于n个n维向量,如果
向量组的秩等于
向量组个数,那么向量组就是满秩的,其行列式不等于0。即每个向量都不能由别的向量线性表示,向量组就是线性无关的。一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数,称为向量组的秩;若向量组的向量都是0向量,则规定其秩为0。向量组α1,α2,···,α...
为什么
秩
小于
列数
就线性相关?
答:
假如只有三个
向量
)视为方程组 (α1, α2, α3)(x1, x2, x3)^T,如果对于行列式(α1, α2, α3)
的秩等于
其
列数
,那么方程组就只有唯一的零解,即x1=x2=x3=0。根据线性相关的定义,显然此时α1, α2, α3线性无关。因此只要秩小于列数那么它们就线性相关。
矩阵
的秩
为什么
等于列
秩?
答:
矩阵行
向量组的秩
= 矩阵列向量组的秩 = 矩阵的秩,任何情况下都相等。三个秩其实是从不同方面描述矩阵的秩,对于同一个矩阵,三秩在任意情况下均相等。行秩与
列秩
比较常用。在计算中,行秩与列秩可用于计算矩阵的秩(高斯消元法)。在证明中,行秩与列秩实质上将矩阵的秩转化为向量组的秩,故...
向量组的秩
有什么性质?
答:
秩的性质:1、矩阵的行秩,
列秩
,秩都相等。2、初等变换不改变矩阵
的秩
。3、如果A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};引理:设矩阵A=(aij)sxn的列
秩等于
A的
列数
n,则A的列秩,秩都等于n。当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何...
如何理解矩阵
的秩
与
列数
的关系?
答:
Ax=0只有零解,说明A
是列
满秩。因为换一个观点来看,Ax可以看做是对A的所有
列向量
做线性组合得到一个新向量,而组合的系数就是x的各个分量。如果Ax=0只有零解,表明A的列向量线性无关,就是要用A的列
向量组
合成零向量,组合系数必须都是0。此时A是列满秩矩阵,A
的秩等于
n(
列数
)。其实A如果...
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