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正定矩阵AB特征值
...B的特征值分别为λ1,λ2...λn;μ1,μ2,...μn。证明
AB特征值
...
答:
只能证明存在λ1,λ2...λn;μ1,μ2,...μn的一种排列方式使得
AB特征值
为λiμi 证明,设xi是对应λi的A的特征向量 则Axi=λixi ABxi=BAxi=Bλixi=λiBxi 所以Bxi也是A的特征值为λi的特征向量 所以必须有Bxi=μixi 所以μi是B的特征值 ABxi=Aμixi=μiAxi=μiλixi 所以...
A,B为
正定矩阵
,证:
AB的特征值
全部大于零.
答:
Q(AB)Q-1 = Q(PTP)(QTQ)Q-1=QPTPQT = (PQT)T(PQT)P,Q均可逆,所以PQT也为可逆矩阵,再次利用开始的充要条件,Q(AB)Q-1为正定矩阵,所有特征值大于零 又因为Q为可逆矩阵 所以 AB 与矩阵 Q(AB)Q-1 相似,所以AB特征值
全大于零
OK,证明完毕,
正定矩阵
与
特征值
答:
回答:确实是充要条件。
正定矩阵
是对称阵所以所有
特征值
为实数,A=T'DT,T为正交阵,D为对角阵,对角线元素即特征值,为实数。全正则正定;正定则全正。
线代
正定矩阵
问题
答:
正定矩阵首先要是对称的。A,B都正定可以说明AB的特征值全大于零
,但不能说明AB一定是对称阵(对称当且仅当AB=(AB)'=B'A'=BA,即A和B可交换),所以AB还不一定是正定矩阵。AB的特征值全大于零的证明:由B正定,B的特征值全大于零;由A正定,存在可逆矩阵P使得A=PP'。所以 (1) P'BP相合于...
设A是n阶
正定矩阵
,
Ab
是n阶实对称矩阵,证明
AB正定
的充要条件是B的
特征值
...
答:
楼主好,如果正确的话,请楼主不吝赐分
正定矩阵
性质
答:
1.
正定矩阵
一定是非奇异的。奇异矩阵的定义:若n阶矩阵A为奇异阵,则其的行列式为零,即 |A|=0。2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。3.若A为n阶对称正定矩阵,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基(Cholesky)分解。4.若A为n阶...
线性代数A,B为
正定矩阵
,矩阵A+B的最大
特征值
大于矩阵A的最大特征值
答:
A的最大
特征值
是x^HAx/x^Hx的最大值,对A和A+B都用这条性质即可
什么叫
正定矩阵
?
答:
这说明AB是对称阵 再利用
AB的特征值
都是正数(因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2})得到AB对称正定。例如:^证明:因为A,B正定,所以 A^T=A,B^T=B (必要性) 因为
AB正定
,所以 (AB)^T=AB 所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB (充分性) 因为 AB=BA 所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB...
设A,B均为n阶实对称
矩阵
,且A
正定
,证明
AB的特征值
全为实数
答:
把A分解成A=CC^T,其中C可逆 那么
AB
=CC^TB相似于C^TBC,后者的
特征值
都是实数
A,B都是n阶半
正定矩阵
,证明:
AB的特征值
都≥0
答:
首先,如果A
正定
B半正定的话可以利用相似变换,AB相似于A^{-1/2}(AB)A^{1/2}=A^{1/2}BA^{1/2},所以特征值都>=0 然后利用特征值的连续性,
AB的特征值
可以看作(A+tI)B的特征值的极限,仍然>=0
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