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ab都是n阶非零矩阵且AB=0
设A
是n阶
方阵,如有
非零矩阵
B使
AB=0
,证明|A|=0.
答:
用反证法.若R(A) =
N
,则A可逆.A^(-1)[
AB
] = A^(-1)*0
= 0
,又A^(-1)[AB] = B ,因此,B
=0
.与B不等于0矛盾.故,R(A)
设A和
B都是n阶非零矩阵
,且满足
AB=
O,证明lAl
=0且
lBl=0
答:
应该是A=0或
B=0
设A
是n阶
方阵,如有
非零矩阵
B使
AB=0
,证明|A|=0.
答:
用反证法. 若R(A) =
N
,则A可逆. A^(-1)[
AB
] = A^(-1)*0
= 0
, 又A^(-1)[AB] = B ,因此,B
=0
. 与B不等于0矛盾. 故,R(A)
设A
是n阶
方阵,若存在n阶方阵B不等于0,使
AB=0
,证明R(A)小于n.
答:
因为B≠O(
矩阵
),所以存在B的一列b≠0(列向量)因为
AB=0
,所以
Ab=0
即齐次线性方程组AX=0存在
非零
解,所以R(A)
设A,B为
n阶
方阵,
且AB=0
,证明:R(A)+R(B)小于等于n
答:
因为
AB=0
,所以
矩阵B
的列向量都是线性方程组AX=
0的
解;则矩阵B的列向量组的秩,不大于方程组AX=0的基础解系的个数,也就是说矩阵B的列向量组可以由AX=0的基础解系线性表示,所以R(B)<=
n
-R(A),故R(A)+R(B)小于等于n。在线性代数中,一个
矩阵A
的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目...
设A,B为
n阶
方阵,
且AB=0
,证明:R(A)+R(B)小于等于n
答:
因为
AB=0
,所以
矩阵B
的列向量都是线性方程组AX=
0的
解;则矩阵B的列向量组的秩,不大于方程组AX=0的基础解系的个数,也就是说矩阵B的列向量组可以由AX=
0 的
基础解系线性表示,所以R(B) <=
n
-R(A),故R(A)+R(B)小于等于n。在线性代数中,一个
矩阵A
的列秩是A的线性独立的纵列的极大...
【急】设A为n阶矩阵,证明A的行列式=0,且存在
非零n阶矩阵B
时,
AB=0
答:
行列式等于零,Ax
=0
有
非零
解,所以存在
B
.(简单只需取一个解,加上
n
-1个零解,构成B)
【急】设A为n阶矩阵,证明A的行列式=0,且存在
非零n阶矩阵B
时,
AB=0
答:
行列式等于零,Ax
=0
有
非零
解,所以存在
B
。(简单只需取一个解,加上
n
-1个零解,构成B)
求解一个线性代数问题
答:
首先这个问题要用线性方程组的知识来解决。先证必要性,也就是左推右。因为存在一个
n阶非零矩阵
B,使
AB=0
那就说明B中每个列向量就都是方程Ax=0的解,因为B为非零矩阵,所以其列向量中至少有一个为非零列向量,这就说明方程Ax=0有非零解,从而说明A不满秩,所以 |A|= 0 。再证充分性,...
A
是n阶矩阵
,
且A
≠0.证明:存在一个
n阶非零矩阵
B,使
AB=0
的充分必要条件是...
答:
)(反证法) 反设|A|≠0,则:A-1存在.所以当AB=0时,二边右乘A-1得:B=0,与存在一个
n阶非零矩阵
B,使AB=0矛盾.所以|A|=0.“充分性”(?)设|A|=0,则方程组Ax=0有非零解:x=(b1,b2,…
bn
).构造矩阵:
B=
b10…
0b
20…0………
bn
0…0则B≠0,
且AB=0
.证毕.
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