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任何实对称矩阵都可以相似对角化
矩阵可以相似对角化
,为什么还要讨论?
答:
第一:
矩阵
A和B
相似
的定义是存在可逆矩阵P,使得A=P逆BP.第二 定理:|AB|=|A||B| 因此|A|=|P逆BP|=|P逆||B||P|=|P逆||P||B|=|P逆P||B|=|B| 第一个等号 是对A,B相似定义的两边取行列式.第二个等号 是定理的应用 第三个等号 是因为行列式的结果是一个数,数与数相乘可以换...
怎么判断一个矩阵是
实对称矩阵
答:
1、
实对称矩阵
A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量
都是实
向量。3、n阶实对称矩阵A必
可相似对角化
,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量,或者说秩r(λ0E-A)必为n-k,其中E为单位矩阵...
证明
实对称矩阵一定能够
与
对角矩阵相似
答:
AQ也是对称矩阵,所以它第一行除了第一列以外也都是0,而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵,所以最后可以反复进行这个过程整成
对角矩阵
。证毕然而正交矩阵一定是可逆矩阵,对方阵而言可逆等价于满秩,乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变,这就证明了你的
实对称矩阵一定可以相似对角化
...
什么是
相似对角化
?
答:
(1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;(2)充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k (3)充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An
一定可以相似对角化
;(4)充分条件:如果An是
实对称矩阵
,那么An一定可以相似...
怎么判断一个矩阵是
实对称矩阵
?
答:
主要性质:1.
实对称矩阵
A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2.实对称矩阵A的特征值都是实数。3.n阶实对称矩阵A必
可相似对角化
,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4.若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量,或者说秩r(λ0E-A)必为n-k,其中E为单位矩阵。5.实对称矩阵...
实对称矩阵一定能对角化
怎么证明
答:
AQ也是对称矩阵,所以它第一行除了第一列以外也都是0,而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵,所以最后可以反复进行这个过程整成
对角矩阵
。证毕然而正交矩阵一定是可逆矩阵,对方阵而言可逆等价于满秩,乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变,这就证明了你的
实对称矩阵一定可以相似对角化
...
将
实对称矩阵化
为
对角矩阵
必须用正交矩阵吗?
答:
作为
实对称矩阵
既可以用正交矩阵
相似对角化
,也可以用可逆矩阵相似对角化.在考题中具体用哪一种题目都有具体要求,LZ可以翻阅历年真题或全书里的习题印证一下.相对来说,可逆矩阵相似对角化较为简单,只需把特征向量构成可逆矩阵即可,不需正交化和单位化.
可对角化矩阵一定
可逆吗?
答:
不一定。
实对称矩阵一定可对角化
,且可正交对角化,先求特征值,如果没有相重的特征值,所有特征根都不相等,那么
可以对角化
。如果有相重的特征值λk。其重数为k,那么通过解方程(λkE-A)X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个,则A可对角化,若小于k,则A不可对角化。
实对称矩阵相似一定
合同吗?
答:
主要性质:1、
实对称矩阵
A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量
都是实
向量。3、n阶实对称矩阵A必
可相似对角化
,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量,或者说秩r(λ0E-A)必为n-k,其中E为...
判断
矩阵
是否
可对角化
的条件
答:
实对称矩阵
的主要性质如下:1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量
都是实
向量。3、n阶实对称矩阵A必
可对角化
,且
相似对角
阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k...
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