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第二类曲面积分的对称性
高等数学,对坐标的
曲面积分的对称
性质,这道题为什么不等于0?
答:
二重
积分
dxdy需要研究
曲面
以及函数关于xOy平面
的对称性
,假如是(x²+y²)zdydz或者(x²+y²)zdxdz,就可以通过曲面关于yOz或xOz对称、且被积函数为偶函数判断积分结果为0。
详细解释多重积分曲线
曲面积分
中的轮换
对称性
?
答:
即可得到关于Z轴的
曲面面积
函数,继续做关于dz
积分
,则可完全得到封闭空间的体积。如果轮换积分顺序,仅仅是中间过程的曲线分布函数、曲面面积函数参考坐标轴或者参考平面有所不同,并不会改变追踪结果。——类似于向东南方向前进100m,可以先向东50√2m,再向南50√2m,如果颠倒顺序,结果一样。
大学高数,第一类曲线
积分
,请问一下这题是不是可以用轮换
对称性
?
答:
不可以。这里对
积分
域作坐标变换,交换x,y后,积分域函数发生了明显改变,并不符合轮换
对称性
的要求。轮换对称性需要看积分域,如果交换坐标次序,积分域函数无改变,则可以使用该性质。
满足什么条件才能使用三重
积分的
轮换
对称性
?
答:
坐标的轮换
对称性
,简单的说就是将坐标轴重新命名,如果
积分
区间的函数表达不变,则被积函数中的x、y、z也同样作变化后,积分值保持不变。正如单参数的正函数的定积分代表函数图像和x轴之间区域的
面积
一样,正的双变量函数的三重积分代表函数所定义的
曲面
和包含函数定义域的平面之间所夹的区域的体积。
∮xzdxdy+xydydz+yzdzdx,∑为平面x=o,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的
答:
由于轮换
对称性
,对三个坐标平面上的积分面的
第二类曲面积分
值相等,不妨取左侧面对该积分计算:由于该面上的单位法向量为n=(0,-1,0) 带入积分有∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdS 其中dS=dzdx 。所以∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdzdx,化为二重积分,积分面为左侧面,带入y=0,再...
二型
曲面积分
直接计算的问题
答:
第二类曲面积分 图中解法的思路是先用
第二类曲面积分的对称性
转换到Σ在YOZ平面上方的一半Σ1上的积分,此时出现系数2,并且由于Σ1位于x轴正侧即x>=0,所以被积函数x=√(a^2-y^2-z^2)以上仍为第二类曲面积分,接下来转换为重积分,此时需要考虑曲面的“侧”,根据题目表述,Σ1相对x轴正向...
三重
积分的
轮换
对称性
在此题中为何无法使用?
答:
所以,不能直接用a²来替换!但如果还没有通过高斯公式转化为三重积分,此时,积分区域是整个球面,是满足x²+y²+z²=a²,所以可以替换。所以,是因为
积分的
区域不一样导致的,三重积分是球体,区域应该是 x²+y²+z²≤a²,但
曲面积分
是球的...
什么叫“轮换
对称性
”?
答:
扩展到其他类型,如第一型曲线积分,如果L是一条在xoy平面上的曲线,且L对x和y具有轮换
对称性
,f(x,y)在L上连续,那么曲线积分的结果同样保持不变,这是定理3的陈述。第二型曲线积分和第一型
曲面积分的
轮换对称性定理4和5,以及第二型曲面积分的定理6,都是类似的,它们分别描述了在特定曲线或...
对坐标的
曲面积分
,Σ为球面x²+y²+z²=a²的外侧,则∫∫Σy...
答:
被积曲面关于xOy对称,被积函数关于z是奇函数,根据
第二类曲面积分的对称性
原理 原式=2∫∫xy√1-x²-y²dxdy (其中,被积区域为x²+y²=1,x,y≥0)原式=2∫[0->π/2]∫[0->1]r³√1-r²drdθ=(π/2)∫[0->1]r²√1-r²dr²...
曲面积分
设∑是柱面x^2+y^2=a^2在0<z<h之间的部分,则∫∫x^2ds=?为...
答:
因为
积分曲面
上满足f(x,y)=x^2+y^2=f(y,x)=y^2+x^2=a^2 所以∫∫x^2dS=∫∫y^2dS 那么原积分=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dS=(a^2/2)∫∫dS=(a^2/2)(2πah)=πa^3h
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