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若ab等于e则a可逆
设n阶方阵A,B,满足A+B=
AB
,证明:A-
E可逆
.并
求A
-E的逆阵.
答:
简单计算一下即可,答案如图所示
线性代数 考研:A、B
是
n阶矩阵,
E
-
AB可逆
,证E-BA可逆。
答:
E, A; B, E],再将第一行块左乘-B加到第2行块得到[E, A; 0, E-BA]。该过程用矩阵乘积表示即 [E, 0; B, E][E, A; 0, E][E-AB, 0; B, E]=[E, A; 0, E-BA]。两边同取行列式即得 det(E-AB)=det(E-BA)。因此E-
AB可逆
,
则E
-BA可逆。
若A
,B为n阶
可逆
矩阵,且
AB
=BA,那么AB是否恒
等于E
?
答:
不是。举个反例:A=[1 0 ;0 1],B = [2 0; 0 2]显然
AB
=BA ,但二者乘积不
等于E
设A、B、C均
为
n阶
可逆
方阵,且
AB
=BC=CA=
E
,
则A
∧2+B∧2+C∧2=
答:
简单计算一下即可,答案如图所示
线代)设 A,B均
为
n 阶
可逆
方阵,且(
AB
)^2=E ,则下列等式错误的是?
答:
(AB)^2=E 不能推出AB=
E
只能知道
ABAB
=E A的逆矩阵*ABAB*A =A的逆矩阵*E*
A BAB
A=E a对
证明:
若A
+A^2=E,
则A
+
E可逆
,并
求A
+E的逆.
答:
将A+A^2=E 变形 得 A(A+E)=
E 则
可知 A 与 A+E 互逆 即 A+
E可逆
,且 (A+E)^(-1)=A
设方阵A满足A^2-A-2E=0 证明A及A+2E都
可逆
答:
A
^2-A-2E=0推出A^2-A=2E,所以A(A-
E
)=2E,从而A的逆矩阵
为
1/2(A-E).A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E,所以(A+2E)(A-3E)=-4E,从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。
ABC均
为
n阶阵,若
A可逆
,
则AB
=AC可以推出BA=CA吗
答:
可以的,对于
AB
=AC,由于
A可逆
,所以两边同时左乘A的逆矩阵,于是得到 IB=IC,即B=C,这时再同时右乘A,可得BA=CA
已知
A和B
都是n阶矩阵,且
E
-
AB是可逆
矩阵,证明E-BA可逆
答:
AX-AX = 0,即AX
为
(
E
-AB)Y = 0的一个非零解,由此可证 也有人是这么解得,(好强大的说)因为E-
AB可逆
,则存在可逆阵C使得C(E-AB)=E,则C-CAB=E,左乘B右乘A,有BCA-BCABA=BA 有BCA=(E+BCA)BA推出(BCA+E)-E=(E+BCA)BA,整理有(BCA+E)(E-BA)=E,根所定义知E-BA可逆 ...
设A,B是n阶矩阵,
E是
n阶单位矩阵,且
AB
=
A-B
证明A+
E可逆
,证明AB=BA 速度...
答:
证明:①设C=A+
E则A
=C-E将其带入原等式得:(C-E)B=C-E-B整理得:C(E-B)=E 故C=A+
E可逆
且其逆
为E
-B ②证明
AB
=BA即证明(C-E)B=B(C-E)即证明BC=CB即证明C^(-1)B=BC^(-1)(*)由于由①,C^(-1)=E-B,故(*)式等价于(E-B)B=B(E-B)等价于B-B^2=B-B^2 ...
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