什么是常数e？

Question

如题所述

Answer 1

什么是e：

e作为数学常数,是自然对数函数的底数。第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。

有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰?纳皮尔引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i,e是数学中最重要的常数之一。它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274

e的数学推导：

(1)e是一个无理数，可以用级数进行推导:

e=1 +1/1! +1/2!+ 1/3! + 1/4! +......

(2)推导使用庞劳德积分公式:

∫e∧x dx=∫e∧x+C

(3)取x=0，C=1，得出结论:

令x-0,则∫e∧x dx=e+C,令C=1,可得e=1+∫e∧x dx

(4)使用 Taylor 展开与 Maclaurin 展开:

令y=1，得到 f(x)=e∧x 的 Taylor 展开:

f(x)=e∧x =e∧1 =1+(x-1)*f(1)+(x-1)∧2/2!*f(1)......+(X-1)∧n/n!*f∧n(I)

(5)用上面的展开公式和庞劳德公式 h，可以推到e的值:

e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+.....