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复变函数w=x2+iy2是否为解析函数
复变函数w=x2+iy2是否为解析函数
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推荐答案 2016-10-10
直接通过柯西-黎曼方程来判断。
u=x²，v=y²，
所以四个
偏导数
分别为ux=2x，uy=0，vx=0，vy=2y。
根据柯西-黎曼方程得到x=y。
因此函数w只在直线y=x上可导。因此对于
复平面
上的任何一点，其
邻域
内都包含着w的不可导的点，所以函数w不存在解析点。因此w不是解析函数。
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怎么判断一
复变函数是否解析
答：
1、如果给出的函数形式是f(z)=u(
x
,
y
)
+i
*v(x,y)，且u和v的形式比较和谐，那么直接根据柯西-黎曼方程来进行判断。
2
、如果给出的函数形式是
w=
f(z)（表达式中只有z，没有x、y和其他自变量），而且f(z)的形式比较和谐，那么在定义域内都可以认为f(z)
是解析
的。3、如果给出的函数形式是w=f...
怎么判断
复变函数是否解析
答：
1、洛朗级数展开：
复变函数
在解析的区域内可以展开为洛朗级数，即可表示为正幂级数和负幂级数之和。如果一个函数可以在某个区域内展开为收敛的洛朗级数，那么它在该区域内
是解析
的。连续性：
解析函数
必须在其定义的区域内是连续的。
2
、积分的唯一性：如果一个复变函数在某个路径上的积分与路径无关，...
复变函数
题目: f(z)
=x
^
2+iy
^2,当
x=
y时,f'(z)=___ . 请写出求解过程...
答：
u
=x
^
2
，v=y^2，则u'x=2x，v'y=2y，u'y=0，v'x=0，当
x=y
时，满足柯西黎曼方程u'x=v'y，u'y=-v'x，所以f(z)可导，f'(z)=u'x
+i
v'x=2x
复变函数
题目:f(z)
=x
^
2+iy
^2,当
x=
y时,f'(z)=___ .
答：
f(z)
=x
^
2+iy
^2 df(z)=
2x
dx+2
yi
dy 当
x=
y时 dy=dx df(z)=2xdx+2yidy f'(z)=2x+2
xi
=2x（1+i）
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