这5种运算（复合是一种运算）只有除不是，其他都是。
例如x, x^2在R上连续，但是x/x^2=1/x在R上不连续。
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
扩展资料：
连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。
有界性
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
依次取n=1、2、3、……，得到一个数列{xn}⊂[a,b]。显然，{xn}是有界的，则根据致密性定理，存在一个收敛子列 
又由归结原则和函数在点x0的连续性可知，
另一方面，由{xn}的选取方法可知， 
所以假设不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。
同理可证f(x)在[a,b]上必有下界，从而f(x)在[a,b]上有界。
最值性
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上确界和下确界。
设f([a,b])的上确界为M，则必存在ξ∈[a,b]使f(ξ)=M
若不是这样，根据上界的定义，对任意x∈[a,b]，都有f(x)<M。
令 
整理该式子得 
同理可证f(x)有最小值。
介值性
若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
也就是设f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别为M、m（M≠m），并且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在闭区间[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。
证明：零点定理可以利用闭区间套定理：如果{[an,bn]}是一个闭区间套，那么存在唯一实数ξ属于所有的闭区间。详细证法参考相应词条。
介值定理可以构造辅助函数来证明。
令g(x)=f(x)-C，其中C是A和B之间的任一实数，则g(x)在[a,b]上连续。
不妨设A<C<B，则g(a)=f(a)-C=A-C<0，g(b)=f(b)-C=B-C>0，即g(x)在两端点处的函数值异号。根据零点定理，在开区间(a,b)上至少存在一点c，使g(c)=f(c)-C=0。∴f(c)=C，c∈(a,b)。
对于B<C<A的情况有完全相同的证法。
一致连续性
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
参考资料：百度百科-连续函数