关于初中数学的动点问题 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-¾（四分之三）x+6分别与x轴，y轴橡

Question

关于初中数学的动点问题
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-¾（四分之三）x+6分别与x轴，y轴橡胶于点A B，动点Q和P同时以1个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度分别从点O点A出发，沿OA AB方向运动，当点Q到达点A时停止运动，设运动时间为t秒 连结PQ
（1）当t为何值时，以PQ为直径的圆与三角形AOB的边相切？
（2）在运动过程中，线段PQ的长度如何变化？
（3）t为何值时，三角形APQ面积最大
（4）设三角形AOB与三角形APQ不重叠部分的面积为y，请求出y与t的函数关系式

Answer 1

由y=-3x/4+6得A(8,0),B(0,6)，AB=12，OQ=t，AQ=8-t，AP=2t，0<=t<=8
（1）当PQ⊥BO时，此时为初始状态，t=0；
当PQ⊥BA时，由△APQ∽△AOB得AQ/AP=AB/AQ，t=16/7；
当PQ⊥OA时，由PQ//OB得AQ/AP=AO/AB，t=40/13
（2）由余弦定理得PQ^2=AQ^2+AP^2-2AQ*APcos∠A=(8-t)^2+4t^2+16(t-8)t/5=(41t^2-208t)/5+64
对称轴t=104/41，故当0=<t<=8时，PQ先减后增。
（3）S△APQ=1/2*AP*AQsin∠A=3/5*(8-t)t=3/5(-t^2+8t)
当t=4时，S△APQ有最大值。
（4）当P在AB内部，即0<=2t<=10，0<=t<=5时，y=S△AOB-S△APQ=3/5(t^2-8t)+24
当P在AB外部，即5<=t<=8时，设PQ与OB交于C
由P分别向y轴、x轴做垂线来求得P的横纵座标，因AP=2t，易得P(8-8t/5,6t/5)
由Q(t,0),P(8-8t/5,6t/5)得直线PQ：y=6t(x-t)/(40-13t)
代入x=0，得y=6t^2/(13t-40),即C(0,6t^2/(13t-40)),OC=6t^2/(13t-40)
y=S△OQC=1/2*OQ*OC=3t^3/(13t-40)