对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
1、做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)
2、再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)
3、两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）
在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
扩展资料：
周期函数的性质共分以下几个类型：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。
T=2kπ(k∈Z且k≠0)
所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)
展示正、余弦函数的图象。
周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）
强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”
令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2
所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0
所以T=0或T=-2x
强调定义中的“非零”和“常数”。
参考资料来源：百度百科——周期函数
求周期，可以把一个函数式子化成f(x)=f(x+a)的这样形式，那么它的周期就是a （当然a＞0）。
例如：下面为一系列的2a为周期的函数
f（x+a）=-f(x) 所以有f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x) 就化解到 f（x)=f(x+2a)的形式了，关键是运用整体思想，去代换。
函数的周期性定义：若存在常数T，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
扩展资料：
周期函数的性质：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
本回答被网友采纳函数的周期性定义是什么
T=2π/ω，Asin(ωx+φ），Acos(ωx+φ）;
T=π/ω，Atan(ωx+φ），Acot(ωx+φ）。
2、一般的，定义法：
f(x+c)=f(x),C≠0是周期，其最小正数是最小正周期T。
3、对称的，具有对称性函数的周期：
（1）如果函数f(x)在R上的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b)，那么，f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期.
（2）如果函数f(x)在R上的图象有两个对称中心(a，0)和 (b，0) (a≠b)，那么f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期.
（3）如果函数f(x)在R上的图象有一个对称轴x=a和一个对称中心(b，c)(a≠b).
那么f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期.
4.抽象的，充分条件法。
设m是非零常数，若对于函数f(x)定义域R中的任意x，恒有下列条件之一成立，则f(x)是周期函数，2m是它的一个周期.
①f(x +m)=-f(x)，②f(x+m)=1/f(x)，④f(x+m)=f(x-m)，③f(x+m)= -1/f(x).
5.函数运算。
函数f(x)与g(x)都是周期为T的周期函数，则它们的和，差、积、商（分母不为0）也是周期函数，这时T是一个周期。本回答被网友采纳