解:分享一种解法,利用欧拉公式求解。
设I1=∫(0,∞)e^[-(t/τ)^2]cosωtdt,I2=∫(0,∞)e^[-(t/τ)^2]sinωtdt,则I=I1+iI2=∫(0,∞)e^[-(t/τ)^2+iωt]dt。而,-(t/τ)^2+iωt=-[(t/τ-ωτi/2)^2]-(ωτ/2)^2,
∴I=e^[-(ωτ/2)^2]∫(0,∞)e^[-(t/τ-τωi/2)^2]dt=τe^[-(ωτ/2)^2]∫(0,∞)e^[-(t/τ-τωi/2)^2]d(t/τ-τωi/2)。
视“t/τ-τωi/2”为整体,利用标准正态分布N(0,1)的密度函数【φ(x)=[1/√(2π)]e^[-(x^2)/2]】,在x∈(-∞,∞)的积分为1,可“快捷”得出∫(0,∞)e^[-(t/τ-τωi/2)^2]d(t/τ-τωi/2)=(√π)/2,
∴F(ω)=2E*[(√π)/2]*τe^[-(ωτ/2)^2]=(√π)Eτe^[-(ωτ/2)^2]。供参考。
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