将函数f（x）＝1/（2+x）展开成x的幂级数

Question

如题所述

Answer 1

（1）首先把f(X)=1/x^2看成是g(x)=-1/x的导数,也就是f(x)=g'(x).
（2）将g(x)展开成x+1的幂级数.
g(x)=-1/x=1/(1-(x+1))
这样就可以把g(x)看成是首项是1,公比是(x+1)的幂级数求和,
g(x)=1+(x+1)+(x+1)^2+.
（3）f(x)就是对g(x)的幂级数逐项求导就行了,可以想象,逐项求导之后还是关于(x+1)的幂级数.
f(x)=1+2(x+1)+3(x+1)^2+.
就能得到答案

Answer 2

f(x)=1/(2+x)
=1/2*1/(1+x/2),
利用公式1/(1-x)=1+x+x²+x³+.....,
将-x/2代入得：
f(x)=1/2*[1-x/2+(x/2)²-(x/2)³+.....]
=1/2-x/2²+x²/2³-x³/2⁴+........
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