几何最值专项2：米勒定理（最大张角问题）

Question

如题所述

Answer 1

几何最值专项2：米勒定理，揭秘最大张角问题

在探索几何世界的奇妙规律中，我们曾在初中几何的最值专项中接触过定弦定角的模型。今天，我们将深入探讨一个更具挑战性的问题——米勒定理，它在解析几何中常常是难题的源泉。这个定理揭示了圆与直线交点角的最大值的秘密。

1. 米勒定理基础知识

圆外角与定理


圆外角，如图1，是指顶点在圆外，两条边与圆相交的角。其度数等于两段弧所对圆心角差绝对值的一半。
弦切角定理，即弦切角等于它所夹弧的圆心角或圆周角的一半，是理解米勒定理的关键。


切割线定理


切割线定理阐述了从圆外一点引出的切线和割线关系，证明了切线长是割线与圆交点连线的几何特性。

2. 米勒定理的应用

米勒定理的核心问题是：当点P在直线上移动时，如何找到使得∠ACB最大点的位置。其定理指出，当点P的外接圆与边BC相切于点C时，这个张角达到最大。

例题精析

例1：给定两点A和B，要求求解当动点P在x轴正半轴移动时，使得∠APB最大，通过构造外接圆并利用切割线定理，找到P的坐标。
例2：抛物线与坐标轴的交点问题，结合米勒定理，求四边形周长最小时动点P的坐标，以及动点P沿特定方向运动，何时角的最大。

3. 固化练习

现在，挑战你的几何直觉，解决以下实际问题：在平面直角坐标系中，如何确定当点P移动时，张角最大时P的坐标？矩形中，如何确定当动点在特定位置时，面积达到最值？在直角三角形中，如何找到线段AB的最小值，同时满足给出的条件？

这些问题的解答，需要你灵活运用米勒定理，深入理解圆与直线的交点关系，以及几何图形中最值的寻找方法。让我们一起探索这些几何迷宫，揭示它们背后的数学奥秘吧！