线线平行如何判定面面平行

Question

如题所述

Answer 1

线线平行→线面平行
：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行
：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行
：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直
：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行
：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直
：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
扩展资料：
如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）
证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。
定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。
两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）
已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β
证明：先证明l与β有交点。若l∥β
∵l⊥α
∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。
设l∩α=A，l∩β=B
在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A
因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。
设与β的交线为b，由定理2可知a∥b
∵l⊥α，a⊂α
∴l⊥a
∴l⊥b
再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d
明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛盾
∵l与β内相交直线b、d都垂直
∴l⊥β
经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
已知：P是平面α外一点
求证：过P有且只有一个平面β∥α
证明：
先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a'∥a，b‘∥b，则a’和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α
再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。
再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。
两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。
参考资料：百度百科——面面平行

Answer 2

线线平行
判定方法
①【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行.
②【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性）
③【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行.
④【性质】x2逆定理、x4、x6及垂直关系性质
主要性质
x1【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（等角定理）
x2【定理】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.（平行线分线段成比例定理）
线面平行
（1）直线在平面内
判定方法
①【定义】直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内.
②【公理】如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内.
③【公理】任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面；两相交直线、两平行直线确定一平面.
④【性质】x3及垂直关系性质
主要性质
x3【定理】过平面内一点的直线平行于此平面的一条平行线，则此直线在这个平面内.
（2）直线在平面外
判定方法
①【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行.
②【定理】平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行.
③【性质】x5、x7及垂直关系性质
主要性质
x4【定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
x5【定理】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.
面面平行
判定方法
①【定义】两平面无公共点，称两平面平行.
②【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性）
③【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
④【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.
⑤【性质】x8逆定理、x9及垂直关系性质
主要性质
x6【定理】如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
x7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
x8【定理】夹在两个平行平面间的平行线段相等.【逆定理】若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行.
x9【结论】经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（存在性与唯一性）
说明：请自行用图形与符号描述上述几何原理。

Answer 3

线线平行→线面平行
：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行
：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行
：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直
：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行
：
如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直
：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直→线线垂直
：
线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
面面垂直→线面垂直
：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
三垂线定理：
如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

Answer 4