设级数an绝对收敛,且lim(n趋向于无穷)bn=1,证明级数anbn绝对收敛

Question

如题所述

Answer 1

记Sn=求和(k=1到n)ak，则Sn收敛于S，且Sn有界，记|Sn|<=M。于是由
|Sk(bk--b(k+1))|<=M|bk--b(k+1)|，知道级数：求和（k=1到无穷）Sk(bk--b(k+1))绝对收敛。
另外由级数：求和（n=1到无穷）(b(n+1)--bn)绝对收敛知道是收敛的，其部分和为b(n+1)--b1，因此数列{bn}是收敛的。
再用Abel分部求和公式有
求和（k=1到n）akbk=求和（k=1到n--1）Sk(bk--b(k+1))+Snbn，由前面证明知道第一个级数收敛，Sn和bn都收敛，因此当n趋于无穷时，要证级数的部分和数列有极限，故收敛
记得采纳我的答案哦，祝你学习进步

Answer 2

设m为{bn}的上界
则|bn|<=|m|
所以∑|anbn|<=∑|m||an|=|m|∑|an|
因为∑an绝对收敛
所以|m|∑an绝对收敛
所以∑anbn绝对收敛
希望对你有帮助~