5.2.1.1 小波基获取算法的基本思想
小波包变换优于小波变换的地方是其良好的时频局部化能力，所以可运用小波包变换来处理高光谱数据。基于小波包变换的高光谱影像目标识别算法的基本思想为：选取适当的小波包母函数，对像元光谱进行小波包变换，获得树形结构的小波包系数；选择信息代价函数，并利用最佳基搜索算法选取最佳基，得到最佳基在树形结构中的位置（序号）；选取低频部分的几个最佳基的序号组成特征向量，作为分类参量。这里要注意几个基本问题：
（1）基本小波函数的选取
基本小波函数的选取直接影响小波包分解系数，进而会影响最佳基的选取及最后分类特征参量的提取。故而，基本小波的选取直接影响分类的效果。比较常用的小波基函数主要有Daubechies正交小波系、Meyer小波、Morlet小波、Mexihat小波等。一般小波变换应用中，小波基的选择主要考虑以下几方面：(1)小波基如果具有正交性，则分解后的各尺度间和尺度内的系数具有较小的相关性。(2)小波基的支撑越小，其局部化能力越强，在信号的突变检测中，紧支撑小波基是首要选择。(3)信号（图像）经小波抽样分解后重构的信号是一个小波级数，它是一个线性滤波的结果，可证明，如果小波基函数系数具有线性相位，就能实现信号（图像）的完全重建（无失真），对称或反对称的尺度函数和小波函数可以构造紧支撑的具有线性相位的小波基。(4)在信号奇异点的检测中，小波基的消失矩必须具有足够的阶数，从计算量的角度考虑，消失矩的阶数与紧支撑区间相关，过高的阶数将增加计算量。另外，如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。
对高光谱影像进行目标识别的小波包分析时，分析对象是单个像元或参考目标的光谱向量，所选小波基需具有正交性，即应选择正交小波基。为减少计算量，选择了消失矩为1而又唯一，同时具有对称性和紧支撑的正交小波基函数－Haar小波（即db1小波，属于Daubechies正交小波系）。对于植被，也可选择与提取的目标光谱曲线相近似的D4小波。
Haar小波尺度函数：
高光谱遥感影像信息提取技术
｛φ（t－k）｝k∈z构成V0的标准正交基。两尺度方程为
高光谱遥感影像信息提取技术
小波方程为
高光谱遥感影像信息提取技术
Haar小波系的特点是具有紧支撑性，但不连续。在实际应用中不能很好地表示和分析连续函数。具有紧支撑和对称性的小波仅有Haar小波。
（2）边界处理
小波分解与重构的卷积算法在实际中有广泛应用。在对离散信号和图像处理的实际应用中，由于采集数据是有限的，为实现原始输入序列的完全重构，在作卷积运算时需要将输入序列作适当处理（即边界延拓），以保证卷积操作的正常进行。常用的边界延拓方法有：零延拓、周期延拓、周期对称延拓、光滑函数延拓、平滑延拓。
本章以地物识别和分类为主要目标，对像元光谱向量或参考目标光谱向量进行小波包变换和分析，故而可以不采用上述常用边界处理方法。但由于小波包变换是二进小波变换，需要输入序列的长度是2的整数次幂。可以采取将像元光谱向量或参考目标光谱向量尾端补零的方法，使得像元光谱向量或参考目标光谱向量的长度为2的整数次幂。研究实例采用高光谱影像数据的波段数为224，将光谱向量尾端补零，使得输入向量的长度变为256（28）。另外也对其他周期延拓的方式进行了实验，得出补零方法的识别精度更好一些。
（3）分类特征参量的提取
小波包能量法是一种常用的小波特征提取方法。首先对信号进行小波包分解（一般3～4层），若对信号进行的是3层小波包分解，系数重构后得到各频带范围的信号S3j（j＝0，1，…，7），对应的能量为E3j（j＝0，1，…，7），显然，E3j（j＝0，1，…，
7）对应小波包分解最底层各小波包基节点，有
高光谱遥感影像信息提取技术
式中：xjk（j＝0，1，…，7；k＝0，1，…，n）表示S3j各离散点的幅值；n为重构系数的个数。由上式组成了8个子空间的特征向量，以此为特征参量。
（4）分解层数的确定
显然，以上述能量特征向量作为分类和目标识别的应用，都忽略了小波包变换的另一个优于小波变换的特点：对应于最佳小波包基的最优分解。对于同一小波包变换，不同类别的目标对应不同的最佳小波包基（通过从光谱库选择几种不同地物的光谱数据进行分析可发现），使得根据最佳小波包基在小波包二叉树中的位置来识别不同目标成为可能；但由于各种因素的影响，即便两个像元是同一目标，它们的最佳小波包基与参考目标的最佳小波包基在小波包二叉树中的位置也可能略有不同，而它们的最佳小波包基相互之间也不一定相同，所以对于某一目标，可以选择其最佳小波包基的前m个即前m个低频最佳基，记录它们的序号即它们在小波包二叉树中的位置，作为分类和识别的依据。因为这种方法较少考虑高频部分，而高频部分主要包括了一些细节信息和噪声信息，故而这种方法还在一定程度上解决了同一目标像元分解存在细微差异的问题，并降低了噪声信息对目标识别的影响。m的取值可以通过对目标的取样分析确定。
基于上述提取特征参量的思想，为使选得的前m个最佳基表征具有更丰富的信息，可进行小波包完全分解（分解到第8层）。
（5）信息代价函数的选择
通常的应用中都是通过实验比较选择最合适的信息代价函数，用得较多的是信息熵（Shannon熵）。这里，选用信息熵（Shannon熵）、范数集中度、对数熵进行比较分析。
5.2.1.2 算法的实现
（1）数据结构设计
小波包分解可以用小波包二叉树来表示。小波包二叉树中的每个节点表征小波包子空间的一个小波包基及分解系数序列。图5.1为进行3层小波包分解时，各小波包子空间对应的小波基在二叉树中对应的序号。其他层数分解的情况类推。故而将其设计为树结构能更好地表现各子空间的关系；同时，也有利于最佳基的沿树形搜索。小波包分解是递归实现的。
图5.1 小波包3层分解树结构
（2）最佳基搜索算法过程
第一步：用 “*”标记最底层节点。
第二步：将父节点的信息代价函数值与它的两个子节点的信息代价函数值之和进行比较。如果父节点的信息代价函数值小于它的两个子节点的信息代价函数值之和，则用“*” 标记父节点；否则，不用标记父节点，而用两个子节点的信息代价函数值之和代替父节点的信息代价函数值，同时将父节点原来的信息代价函数值用括号括起来。
第三步：只考虑括号外的值，从上到下选取与树根最近的标记“*” 的节点（以这些节点为根的子树的节点将不再考虑），这些被选出的标有 “*” 的节点构成空间的不重叠的覆盖，它们正是最佳基对应的节点，这些节点对应的小波包基就是所求的最佳基（孙延奎，2005）。
这里，搜索最佳基的算法主要由两步组成：标志构成最佳基的节点（令其flag为1）；获得最佳基节点的序号。前者用递归的方法计算信息代价函数值，并标志最佳基；后者获得最佳基节点序号。