杜德森展开式

Question

如题所述

Answer 1

拉普拉斯展开式已将引潮力位展开成三种类型的潮汐波。但因为地球绕太阳的轨道运动和月亮绕地球的轨道运动是极其复杂的，所以（5-19)展开式中的

和δ以及t具有复杂的函数关系。为了分析潮汐现象的实质和进行实际计算，将引潮力位只展开成如（5-19）式所表示的三类不同周期的潮波是不够的。可以想象，随着日、地、月三者之间相互位置的变化，（5-19）式的三类潮汐波必定还能分成更多更细的潮汐波。

杜德森在将引潮力位作进一步展开时，采用了天文学中的六个天文参数作为变量，使展开式中各潮波的振幅不显含时间的关系。现先将此六个天文参数作图简要说明其几何意义。图5-10表示黄道、白道和赤道的相对位置。O_M为月心，O_s为日心，π_M为月亮的近地点，π_s为太阳的近地点（即地球的近日点）。

为平春分点，N为月亮在黄道上的升交点。由此图可看出六个天文参数的定义为

图5-10 黄道、白道和赤道的相对位置

月亮平黄经

太阳平黄经

月亮近地点平黄经

太阳近地点（或近日点）平黄经

月亮升交点平黄经

平太阳时τ＝t＋180°（从月亮下中天起算，t为月亮的时角，用角度表示）

以上五个平黄经（又称平经度）是从春分点起算，并随时间在黄道上等速变化。其中除N外，都是向东增加，而N则是向西增加，所以在研究潮汐理论时，常采用N′＝-N。

此外，根据天文学可知，平太阴时和平太阳时之间有下列关系式

τ_∗＝τ＋S-180°＝τ_s＋h-180° （5-21）

式中：τ_∗为恒星时；τ_s为平太阳时（以下中天起算）；S，h应化为地球赤道上的角度。由此

τ＝τ_s＋h-S （5-22）

表5-1列出以上这些参变量的角频率和周期。上述六个天文参数，除τ在（5-21)式已给出外，其余都是时间的递增函数。根据天文学推导出它们的形式为

S＝270°.43659＋481267°.8907T＋0°.00198T²＋0°.000002T³（5-23）

P＝334°.32956＋4069°.03403T-0.01032T²-0.00001T³ （5-24）

N′＝259°.18328＋1934°.14201T-0.00208T²-0.000002T³（5-25）

h＝279°.9668＋36000°.76892T＋0.00030T² （5-26）

P_s＝281°.22083＋1°.71902T＋0°.00045T²＋0.000003T³ （5-27）

式中：T是从1899年12月31日12世界时起算儒略世纪数。从天文年历中查得1899年12月31日12世界时的儒略日数为2415020，并且1儒略世纪＝36525日，所以

勘探重力学与地磁学

此处T_t为计算时刻（以世界时计）的儒略日数，可以从天文年历中查得。上式也可写成：

勘探重力学与地磁学

式中：K为从1899年12月31日0世界时起算的年数；n为上述期间的闰年数；l为从本年度开始到计算时刻的天数；T₀为计算时刻的世界时（以小时为单位）。

表5-1 八个参变量的角频率和周期

利用以上六个天文参数就可以在（5-19）式和（5-20）式的基础上将引潮力位进一步展开。由于这种展开过程极其复杂和冗长，所以这里仅归纳主要的展开步骤，最后给出展开式中一些主要项的结果，而具体的展开原理及过程见附录。展开步骤如下：

（1）找出引潮力位的拉普拉斯展开式（5-19）式中的

，δ和六个天文参数之间的关系，如对月亮有

勘探重力学与地磁学

sinδ＝sinεsinS₁cosβ＋cosεsinβ （5-31）

S₁＝S＋0.1107sin（S-P）t＋… （5-32）

式中：ε为黄赤交角；S₁为月亮的真黄经。

（2）将上述关系式代入（5-19）式，可将

勘探重力学与地磁学

勘探重力学与地磁学

勘探重力学与地磁学

化为下列形式各项的组合式：

勘探重力学与地磁学

就是说，它是某一角度的正弦或余弦几次方乘积的组合，角度X，Y是上述天文参数的线性组合。

（3）利用三角学中的和差与积的关系式逐步将上面各项分开，化为合成角（X＋Y）和（X-Y）的正弦和余弦函数，显然（X＋Y）和（X-Y）应是六个天文参数τ（或τ_S)，S，h，P，P_s和N′的线性组合。由此引潮力位（5-19）式中的每一种分潮波可以写成下列形式：

勘探重力学与地磁学

式中：K_ABCDEF为相应的分潮波的系数，它是在进行数学换算时得到的常数。上式的每一项都表示一种分潮波。

（4）将各分潮波的系数K_ABCDEF分别乘以下列函数：

对于月亮 对于太阳

2G₀＝D（1-3sin³φ） 0.46051D（1-3sin²φ)＝0.92102G₀（5-34）

G₁＝Dcos²φ 0.46051Dcos²φ＝0.46051G₁（5-35）

G₂＝Dsin2φ 0.46051Dsin2φ＝0.46051G₂（5-36）

上式中G₀，G₁，G₂称为大地函数。这样就得到了各分潮波的振幅。（5-33)式大括号内的角度就是该分潮波相位。

（5）将这些余弦或正弦分潮波迭加，则得引潮力位的杜德森展开式。

从以上展开过程可以看出，各分潮波之间具有不同的频率和振幅，而每一分潮波的频率和振幅就是固定的，不随时间而变化；另外，展开式中所包含的项数取决于两个因素，第一是（5-18）式中所取的球谐项的多少，通常取至T₂和T₃；第二是（5-30），（5-31）和（5-32）三式（对于太阳有类似关系式）中所取的项数多少。显然在这些展开式中取的项数越多，则得到的分潮波就越多。杜德森在展开时，将系数K_ABCDEF小于0.0001 的项全部略去，这正好相当于在（5-18）式中取至T₃项，而略去T₄以上各项。这样展开出384个正弦和余弦分潮波以及两个常潮波，共计386项，具体见附录中的表一。而如今最多展开到508个波。通常在固体潮的研究中多采用表5-2中所列的十种主要分潮波。表中所列的角频率是根据分潮波相位中的天文参数的角频率（见表5-1）算得的。角频率已知，则周期很容易求得。

表5-2 十种分潮波名称及参数

在（5-33）式的分潮波相位中，τ的系数A总是正整数，而后面五个天文参考数的系数B，C，D，E，F可正可负，通常由-4变到＋4。为了避免这些数出现负数，所以在B到F各数上加5，则（5.33）式大括号内的数值变为

｛Aτ＋（B＋5）S＋（C＋5）h＋（D＋5）P＋（E＋5）N′＋（F＋5）P_s｝

天文参数前的系数称为幅角数（由于这种编排方式是杜德森建议的，因此又称杜德森编码）。因为前三个数是角频率较大的天文参数的系数，所以用逗号将它们与后面三个系数隔开。杜德森展开式的386个分潮波的幅角数及其系数K_ABCDEF可从附录中表一查得。有了幅角数，则各分潮波就按幅角数由小到大自动排列分类。幅角数的前三位数字称为分波数，而这前三位数字的头两个数字称为群数，并且第一个数字称为类别数。例如表5-2中：幅角数265 455，分波数265，群数26，类别数2，即半日波。在少数情况下，B到F五个系数可能超出-4至＋4的范围，此时用X代替5，用E代替6，用I代替-6，用O代替-5。从附录中表一可以看出，幅角数小的潮波角频率小，相对应于长周期波，反之，对应于短周期波。

通常为了实际计算，又将（5-33）式各分潮波的相位换成习惯上常见的形式。首先在相位中附加一个经过适当选择的90°的倍数（倍数可为0，±1或2），这样就使（5-33）式的所有分潮波，不论是“±sin”，还是“±cos”都用“＋cos”表示，例如表5-2中的 O₁波是0.37689G₁sin（τ-S），从相位中减去90°，则得0.37689G₁sin（τ-S）＝0.37689G₁cos（τ-S-90°）；又如M₁波是-0.02964G₁sin［（τ＋S）-（S-P）］＝-0.02964G₁cos［（τ＋S）-（S-P）＋90°］。按照习惯，总是将余弦波写成如下形式

cos（τ-S-90°）＝cos（ω_it＋φ_i）

式中：ω_i为分潮波的角频率；φ_i为某初始时刻的初相位；t为计算φ_i的初始时刻到引潮力位的那一瞬间的时间间隔。由此引潮力位T_A的杜德森展开式的最后式为

勘探重力学与地磁学

式中：A_i为分潮波的振幅，等于系数K_ABCDEF和相应的大地函数的乘积；n为展开的项数，例如可为386。

引潮力位的杜德森展开式是潮汐分析的理论基础。