先假设地球没有自转。
首先,牛顿证明了均匀球壳对内的引力为0。若你在地球内部,那么比你“外”的无数层球壳对你来说没有引力。而比你“内”的球体对你有引力。也就是你只会受到比你内的球体的引力。
因此可以等效的看作如下场景:
1. 地球的所有质量都在核心。中间是空的。
2. 核心的质量随着你距离核心的三次方而变化。
由万有引力定律 F = GMm/R^2,
质量为 M = 4πρR^3/3
两式子联立得到 F = 4πρGmR/3。
受到的力和距离线性相关。因此的确是在做间谐振动。
由于地球会自转,因此你在初始下落时应该获得一个角动量L = mR^2ω。
由于前面假设了你掉下去不受其他外力,且你的质量相对于地球可以忽略,故可以根据角动量守恒定律认为你的角动量不变。
由于式子中R缩小,因此ω必须变大才能使得你的速度提高。而地球的ω是一个常量,不随R而改变,因此你无法保持简谐运动。你只能撞到墙壁上。
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