用拉格朗日中值定理证明不等式介绍如下：
利用拉格朗日中值定理证明不等式：当h＞0时，h／（1＋h^2）＜arctan h＜h。
令f（x）＝arctanx，则f'（x）＝1/（1＋x^2） 由拉格朗日中值定理有存在实数c，使得f（x）－f（x0）＝f'（c）（x－x0） 再此取x0＝0，则f（0）＝0 应用上面的等式，便有arctanx=x/(1+c^2)，其中0＜c＜x 又由0＜c＜x知1＜1＋c^2＜1＋x^2 所以1/（1＋x^2） ＜1/（1＋c^2） ＜1 又因为x＞0，所以x/(1+x^2)<x/(1+c^2)<x 故原不等式成立。
拉格朗日中值定理证明过程如下：
设f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，求证：存在ξ∈(a,b)，使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。证：构造F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)显然F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=af(b)-bf(a)F(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=af(b)-bf(a)则F(a)=F(b)。
因此，由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使F'(ξ)=0由F'(x)=[f(b)-f(a)]-f'(x)(b-a)，则[f(b)-f(a)]-f'(ξ)(b-a)=0即f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。
资料扩展：
拉格朗日定理，数理科学术语，存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理(群论)。
拉格朗日介绍：
约瑟夫·拉格朗日全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。
出身：
拉格朗日父姓拉格朗日亚。拉格朗日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普·洛德维科·拉格朗日亚。父名弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚；母名泰雷萨·格罗索。
他曾用过的姓有德·拉·格朗日，拉·格朗日等。去世后，法兰西研究院给他写的颂词中，正式用约瑟夫·拉格朗日。父系为法国后裔。曾祖是法国骑兵上校，到意大利后与罗马家族的人结婚定居；祖父任都灵的公共事务和防务局会计，又同当地人结婚。父亲也在都灵同一单位工作，共有11个子女，但大多数夭折，拉格朗日最大。