积分1/x^2,积分范围(0,+∞)，敛散性判断？

解积分得-x^-1｜(0,+∞)，x=+∞值为0，x=0时值为-∞，这不就是(0-(-∞))=∞么？为啥很多人说这个数收敛？

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推荐答案 2021-05-11

简单计算一下即可，答案如图所示

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第1个回答 2021-05-11

此广义积分其实是一个无穷限积分和一个瑕积分(无界函数积分)的组合，可以将积分区间分为[0，1]及[1，+∞]，在区间[0，1]，0为瑕点，1/x²>1/x，由比较审敛法，瑕积分发散。在区间[1，+∞]，由于1/x²<1/x，无穷限积分收敛。总的来说，原广义积分发散。

第2个回答 2021-05-11

不收敛！
如果将积分下限的0改为一非零常数，就收敛了。追问

唉，我看考研真题讲解，有的老师直接就说这个收敛，我也是头大，直接把我弄懵了

追答

你看看差异在哪里

第3个回答 2021-05-11

下限是0肯定不收敛，一般人说收敛都是下限>0情况吧

相似回答

1/x^2为什么是收敛的答：敛散性。设f(x)=(lnx)/x^2，则f(x)在[1，+∞)非负、单调减少、且连续，∫(1，+∞)(lnx)dx/x^2与级数∑lnn/n^2有相同的敛散性，而∫(1，+∞)(lnx)dx/x^2=-(1+lnx)/x，级数∑lnn/n^2收敛，x^2在分母的位置，且幂指数2＞1，所以1/x^2是收敛的。

讨论敛散性答：现在令f(x)=x/(1+x^2)。f(x)的不定积分是(1/2)ln(1+x^2)。所以从0积分到正无穷是发散的（因为ln(1+x^2)当x趋向无穷时是发散的）。所以f从负无穷到正无穷的积分就是发散的

要求X/(1+X^2)在负无穷大到正无穷大的定积分。首先我觉得这个函数是奇函...答：简单分析一下，详情如图所示

判断下列无穷积分的敛散性,若收敛,则求其值 ∫0 +∞ dx/ [(x+1)√...答：当x趋于无穷时，被积函数等价于1/x^2，因此积分收敛。做变量替换x=tant，dx=sec^2tdt，x=0对应t=0，x趋于无穷对应t趋于pi/2，因此原积分= 积分(从0到pi/2)sec^2tdt/[(1+tant)*sect]=积分(从0到pi/2)dt/(sint+cost)=1/根号(2) *ln(sin(x+pi/4)/(1+cos(x+pi/4)))|上限...

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