复合函数的值域怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

复合函数值域的求法如下：

我们设复合函数为f[g(x)]g(x)为内层函数,为了求出f的值域，先求出g(x)的值域,然后把g(x)看成一个整体,相当于f(x)的自变量x。所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据f(x)函数的性质求出其值域就行了。

复合函数概念：

设函数Y=f(u)的定义域为D，函数u=φ(x)的值域为Z，如果D∩Z，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，记作Y=f[φ(x)]。

x为自变量，y为因变量，而u称为中间变量。由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。

归纳点拨：

1、若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

2、若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域。

3、已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。

若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”。函数变成y=lnt是一个对数函数，其中t>=1，是单调递增的，所以函数的值域是y>=0。