递推公式x = ax怎么证明收敛

如题所述

推荐答案 2017-05-22

设原递推公式可化为X(n+1)-a=b(Xn-a)/(Xn+1)
可解得a=2,b=-1
于是X(n+1)-2=-(Xn-2)/(Xn+1) ①
将①两边求倒数,得
1/(X(n+1)-2)=-(Xn+1)/(Xn-2)
即1/(X(n+1)-2)=-(1+3/(Xn-2)) ②
令1/(Xn-2)=an
那么②式即为
即a(n+1)=-1-3*an ③
设③式可化为a(n+1)-k=-3(an-k)
解得k=-1/4
所以③式可化为a(n+1)+1/4=-3(an+1/4) ④
所以{an+1/4}是以-3为公比的等比数列
又a1+1/4=1/(X1-2)+1/4=-3/4
所以an+1/4=-3/4*(-3)^(n-1)=1/4*(-3)^n
所以Xn=2+4/3^n

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