抛物线过焦点的弦长公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

抛物线过焦点的弦长公式为：2p/sina^2。

设抛物线方程为y^2=2px，焦点为（p，0），准线为x=-p。设过焦点的弦为AB，其方程为y=k（x-p），其中k≠0。将该方程代入抛物线方程，得到k^2x^2-（2p+2pk^2）x+p^2k^2=0。

设两交点为A（x1，y1），B（x2，y2）。根据韦达定理，有x1+x2=（2p+2pk^2）/k^2。根据抛物线的定义，有|AB|=x1+x2+p。所以，弦长|AB|=p+2p/k^2。

抛物线焦点弦的性质焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上，并且该交点与焦点的连线垂直于这条焦点弦。反过来，过准线上任意一点作圆锥曲线的两条切线，连接这两个切线的直线将通过焦点。以焦点弦为直径的圆与相应准线的关系：椭圆相离；双曲线相交；抛物线相切。

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