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推荐答案 2010-08-23
答1题:
对于辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a/2),在区间[0,a/2]上,函数F(x)满足闭区间上连续函数的零点定理的条件,即,F(x)在闭区间[0,a/2]上连续,并且在两个端点0,a/2处的函数值异号:
F(0)F(a/2)<0,于是由零点定理成立着,在(0,a/2)中,即(0,a)中,存在点 ξ ,使得F(ξ)=0。证毕。
答2题:
设f(x)=lnx,在区间[a,b]上,f(x)满足拉格朗日中值定理的条件,于是成立
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),即,
lnb-lna=(1/ξ)(b-a),其中a<ξ<b,在式中放缩 ξ 即得证
(b-a)/b<lnb/a<(b-a)/a。证毕。
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其他回答
第1个回答 2010-08-23
设辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a/2),在区间[0,a/2]上,函数F(x)满足闭区间上连续函数的零点定理的条件,即,F(x)在闭区间[0,a/2]上连续,并且在两个端点0,a/2处的函数值异号:
F(0)F(a/2)<0,于是由零点定理成立着,在(0,a/2)中,即(0,a)中,存在点 ξ ,使得F(ξ)=0。
设f(x)=lnx,在区间[a,b]上,f(x)满足拉格朗日中值定理的条件
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),
lnb-lna=(1/ξ)(b-a),其中a<ξ<b,在式中放缩 ξ 即得证
(b-a)/b<lnb/a<(b-a)/a。
第2个回答 2010-08-23
第1题考虑辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a/2),在两个端点0,a的符号,
因为F(0)F(3a/2)<0,由零点定理得证
第2题考虑辅助函数f(x)=ln x在区间(a,b)可微,在[a,b]连续,应用Lagrange中值定理得到,1/b<ln xi=(ln b-ln a)/(b-a)<1/a,得证
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