线性代数求特征向量问题的疑惑

Question

线性代数求特征向量问题的疑惑都知道求特征向量的套路，（入E-A）科西=0 先让前面的入E-科西加个行列式符号等于0 再根据两者相乘是0矩阵 求出后面对应不同莱姆塔的科西1 2 3。

但是 我在翻精确定义查缺补漏的时候发现一个问题，看这里，A-E不等于0不代表A-E的行列式不等于0

这我就迷惑了

求特征向量是根据A科西=入科西，根据书里面这个例证，这个等式变换成（入E-A）科西后不能代表加了行列式的入E-A乘科西不等于0吧，那这种咱们用了n年的求特征值特征向量法是什么原理呢？或许是因为某个必要条件我没注意？

我今年开始复习的时候就隐隐有种迷惑，现在终于发现了，求大神解释

Answer 1

第一个问题：
不同的特征值所对应的特征向量是正交的，记住，它是自然正交的，不需要作任何的变换

但是，当出现重根后，出现的特征向量就不一定是正交的了。所以，必须通过施密特正交化化法，然后单位化。

只是求的r个线性无关的特征向量，在普通的矩阵对角化上足够了。

这样的目的是使用在二次型上
当我们需要对一个多项式，求其二次型标准型时，必须要使得，任何两个特征向量是正交的，即化为合同矩阵。追问

因为特征向量构成的特征矩阵，俩俩正交，所以科西构成的这个特征矩阵必然不等于0？所以要想乘等于0，那么前面的入E-A的行列式必须等于0？这是一个必要条件？

但是还有个问题，大神看下我的推理理解对不对，这个例题里面A-E不等于0 不能推得A-E的行列式不为零，这个结论的逆否命题，不就是如果A-E的行列式为0，那么可以推得A-E为0矩阵么，这样一看有点不对耶，把求的的入带进去，入E-A的秩被n减的差，小于等于特征值重数，总之入E-A不是个零矩阵啊

问题出在哪儿了？