数学概率问题

Question

10万张福利彩票中，有20张一等奖，1000张二等奖，10000张3等奖，小明买了2张彩票
（1）则他中一等奖的概率是多少？？（答案是0.0004，过程？）

再问一下，如果他买5000张、全买，中一等奖概率分别是多少？？能算吗？
第一题答案的概率是准确值还是估值？？是(20/100000)*2吗？
概率不是应该大等0小等1吗，如果买100000张概率不就是20＞1了吗？？

Answer 1

(1)是一个典型的抓阄模型，不管你怎么算，算1张中奖条件下，第2张中奖的概率也好,算1张不中奖的条件下2张中奖的概率也好……，在抓阄模型下，抽中的概率与次序无关。每一张彩票中奖的概率都为20/10万=0.0002
买2张彩票相当于抓了2次阄，这样的情况符合贝努利试验的条件，于是转为二项概型来做。
试验2次，每次成功概率为0.0002，目标成功次数为至少1次（1次和2次）。于是转为算成功次数0次的逆事件 k=0
根据二项概型公式 P(X=k）=p^k * q^(n-k) 其中q=1-p
P(X=0)=q²=0.9998²=0.99960004
也就是说，两次都不中的概率为0.99960004
那么至少一次中奖的概率为1-0.99960004=0.00039996≈0.0004
所以第一题答案给出的不是准确值，而是估计值。
(2)买5000张，相当于抓阄5000次，依然还是按照以上方法用二项概型计算概率
先求5000次都不中的概率，此时p=0.0002 n=5000 k=0
P(X=0)=q^5000=0.9998^5000≈0.367843
那么至少中1次的概率为1-0.367843=0.632157
再来看看全买，此时就不能依然按照二项概型来做了，因为贝努利试验是建立在独立事件可无限次重复的基础上的，此时试验次数已经达到了题目规定的最大值，已经不符合贝努利试验的无限次等概率事件的定义了。
如果按照贝努利试验来计算会得到悖论。
用二项概型求出悖论过程如下：
全买时的参数 n=10万 p=0.0002
P(X=0)=q^(n-k)=0.9998^(10万）=0.000000002057
此时至少一次中奖的概率为1-0.000000002057=0.999999997943
并不为1。与事实不符。
为了避免出现悖论，这里不用二项概型计算。
而采取事件分析的方法。
P{得到一等奖}=P{得到1个一等奖}+P{得到2个一等奖}+……+P{得到20个一等奖}
=1-P{得到0个一等奖}
而P{得到0个一等奖}在此时为不可能事件，其概率为0
于是P{至少得到1个一等奖}=1
其实我也考虑过用超几何分布来做，依然要面对贝努利试验的上限问题，所以只好取逆事件分析了。

Answer 2

由于10万张彩票远远大于20张一等奖，可视为两次概率相同，均为0.0002，概率为0.0004

Answer 3

首先你要明确，概率是概念上的几率，实际的叫频率，因为是概念问题，所以肯定是准确值。

1. 2*20÷10,0000

2. 5000*20÷10,0000==1（只是概率上肯定中，实际不一定的，而且这种情况下，赔率绝对不可能有1：5000，别想多了）

哦，那上面的回答好像又点错误，1.应该是约值。
暂时只想到最基本的方法：
买2张所可能的组合数：（99999+99998+99997+……+2+1）=4999950000

至少中一张的情况有：
中1张：20
中2张：19*20/2
3：18*19/2*20-重复的（暂时想不到多少种情况）
……
19：20
20：1
然后把所有加起来=K
概率为K/4999950000，应该不会是个整齐的数字。
（数字比较大，很难算）

Answer 4

我是其我额人他，修改次数达到上限，没办法，但我找到方法了

买2张所可能的组合数：（99999+99998+99997+……+2+1）=4999950000

至少中一张的情况有：
中1张：20/1
中2张：20*19/(1+2)
3：20*19*18/(1+2+3)
4:20*19*18*17/(1+2+3+4)
……
19:20
20：1
然后把所有加起来=K
概率为K/4999950000，应该不会是个整齐的数字。