迭代矩阵及收敛定理

Question

如题所述

Answer 1

式（5－13）可以写成矩阵形式

x^（k＋1）＝（1－ω）x^（k）－ωD^－1（Lx^（k＋1）＋Ux^（k））＋ωD^－1b

于是有

地球物理数据处理基础

其中：S_ω为松弛迭代矩阵，并且S_ω＝（D＋ωL）^－1［（1－ω）D－ωU］，f＝ω（D＋ωL）^－1b。

下面给出判断松弛迭代法收敛性的两个定理：

★定理五：松弛迭代格式（5－14）收敛的必要条件为0<ω<2。

★定理六：若A为正定矩阵，则当0<ω<2时，松弛迭代格式（5－14）恒收敛。

显然正定方程组的G－S迭代法必收敛（因为ω＝1）。

在利用松弛迭代法解线性方程组时，通常把0<ω<1的迭代称为亚松弛迭代，把ω＝1的迭代称为G－S迭代，而把1<ω<2的称为超松弛迭代。

下面直接给出计算最佳松弛因子的公式：

地球物理数据处理基础

其中，ρ（B）是方程组对应的J－迭代的迭代矩阵B的谱半径。