离散数学 代数结构 求解答

Question

正实数集R+上的二元运算定义为a°b=a/b+b/a。
（1）°是否可结合？可交换？满足消去律？
（2）是否存在关于 °的单位元、零元、幂等元？如果有，请把它们找出来。
（3）如果存在单位元，哪些元素有逆元

Answer 1

(1)(a*b)*c=(a/b+b/a)*c=(a/b+b/a)/c+c/(a/b+b/a)=(a^2+b^2)/(abc)+abc/(a^2+b^2),
a*(b*c)=a*(b/c+c/b)=a/(b/c+c/b)+(b/c+c/b)/a=abc/(b^2+c^2)+(b^2+c^2)/(abc),
当a=c时*可结合；否则，不可结合。
显然，*可交换。
若a*x=a*y,则a/x+x/a=a/y+y/a,
∴a/x-a/y+x/a-y/a=0,
∴a(y-x)/(xy)+(x-y)/a=0,
∴(x-y)/a*[1-a/(xy)]=0,
∴x=y或xy=a.*不满足消去律。
（2）设a*i=a,则a/i+i/a=a,
∴a^2+i^2=a^2i,
i^2-a^2i+a^2=0,
∴不存在单位元。显然，不存在零元。
设a*a=a/a+a/a=2=a,
∴2是幂等元。
(3)不研究。