如何证明收敛数列必是有界数列

Question

如题所述

Answer 1

这个证明教材上有的,一般有两种证法,一是反证法,一是同一法,仅证后一种：
已知 liman = a,若还有 liman = b.则对任意ε>0,存在 N∈Z,当 n>N 时,有
|an-a| < ε,|an-b| < ε,
此时,
|a-b| ≤ |an-a|+|an-b| < 2ε,
由 ε>0 的任意性,得知 a=b.

设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,使得当n>M时|a[n]-a|<1,或者说a-1<a[n]<a+1
于是min{a[1],a[2],...,a[M],a-1}<=a[n]<=max{a[1],a[2],...,a[M],a+1},即{a[n]}有界.

Answer 2

证：设数列{xn}收敛，极限为a，由极限的定义，取ε=1，∃N，∀n＞N，|xn-a|＜1，即
a-1＜xn＜a+1 （数列极限定义证明xN+1有界）
取M=max{x1,x2,…,xN,a+1}，m=min{ x1,x2,…,xN,a-1} （x1,x2,...,xN是有限的数，即存在最大和最小值），
显然对{xn}所有项成立，则m＜xn＜M，n=1,2,3,… （xn＜a+1，xn一定小于M；同理xn一定大于m，则xN也有界）
数列极限的存在和前有限项没有关系，只要求从某一项开始，则m＜xn＜M可表示为m≤xn≤M(例如1/n，当n＞N时，xn=m且xn=M)

Answer 3

这个证明教材上有的,一般有两种证法,一是反证法,一是同一法,仅证后一种：
　　已知 liman = a,若还有 liman = b.则对任意ε>0,存在 N∈Z,当 n>N 时,有
　　　　|an-a| < ε,|an-b| < ε,
此时,
　　　　|a-b| ≤ |an-a|+|an-b| < 2ε,
由 ε>0 的任意性,得知 a=b.
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