计算机组成原理的第二章，深入探讨了计算机算术的奥秘，尤其是数据表示和运算的精确性。在数字世界中，数据是信息的载体，以二进制形式存储，最小单位为位，而字节则是其基本的存储单元。数据的多样性体现在整数、字符、声音和图像等不同形式，而二进制运算则是其基础，遵循与十进制类似的规则，但以2为基数。
精度，是衡量数据准确性和误差的关键指标。负数的表示方法各有千秋：符号位法通过1或0来标记正负，n位表示的范围从$-(2^{n-1}-1)$到$(2^{n-1}-1)$，其中0的表示尤为特殊；二进制补码则通过补数概念简化负数运算，例如7减5的补码运算结果就是+2，反之则是-2，这使得计算机内部采用补码统一处理正负数。
例如，4个数的补码表示为：+5, -5, +7, -7，其中7减5的结果为+2，5减7得到-2，这通过$2^8 - 2$的计算得出，但要注意溢出问题，如5位补码的范围限制在-16到15，超出范围即会发生溢出。
移位运算则是数据操作的又一利器，左移相当于乘以2，右移则相当于除以2，同时保持符号。非负数乘法利用部分积累加法，而快速乘法则通过逻辑阵列直接计算，避免了复杂的乘法运算。
浮点数的处理更为复杂，它们以数值和小数点位置的形式存在，科学计数法确保了大数和小数的表示。二进制的浮点数表示为尾数乘以$2^指数$，其中规范化是确保运算结果唯一性的关键，如32位单精度浮点数结构，包括符号、8位偏置指数和尾数部分。
非数(NaN)的出现是浮点运算中的特殊状况，它代表无法表示的数值。接近0的浮点数有特定的范围，并遵循IEEE标准的舍入规则和异常处理。浮点数运算需要精细的阶数调整、尾数相加并规范化，这要求精确的操作，同时处理溢出、舍入策略和误差传播等问题。
总的来说，计算机算术不仅涉及基础的二进制运算，还包括浮点数的表示与处理，这些复杂的运算规则和处理方法，为现代计算机的高效运作提供了基石，也影响着我们对数字世界的理解和利用。深入理解这些原理，对于提升计算机性能和精准度至关重要。
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