在不等式组0≤a≤30≤b≤2对应的平面区域内任取一点（a，b），则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是__

Question

在不等式组0≤a≤30≤b≤2对应的平面区域内任取一点（a，b），则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是______．

Answer 1

解：方程有实根时，△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²．记方程x²+2ax+b²=0有实根的事件为A．
设点M的坐标为（a，b），由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，所以，所有的点M对构成坐标平面上一个区域（如图中的矩形OABC），即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC，其面积为2×3=6．
由于a在[0，3]上随机抽取，b在[0，2]上随机抽取，
所以，组成区域OABC的所有基本事件是等可能性的．
又由于满足条件0≤a≤3，且0≤b≤2，且a²≥b²，即a≥b的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为

1

2

×（1+3）×2=4，
所以，事件A组成平面区域的面积为4，所以P（A）=

4

6

=

2

3

．
所以，方程x²+2ax+b²=0有实根的概率为

2

3

．
故答案为：

2

3