在一离心率等于e的椭圆上，已知一焦半径的长及其与长轴所夹的角，如何求长轴的长？

Question

如题所述

Answer 1

令椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则离心率为e的定义是焦距长度c与长轴长度a的比值：e=c/a。

根据焦半径的定义，我们可以得到：

$r = a(1-e^2)/(1+e\cos\theta)$

其中，$\theta$是焦半径与长轴正半轴的夹角。

已知$r$和$\theta$，代入上式可以得到一个关于a和e的方程，解方程即可得到长轴长度2a的值。

具体而言，首先根据三角函数关系式，可以得到：

$\cos\theta = \sqrt{1-e^2\sin^2\theta}$

将其代入$r$的表达式中，可以得到：

$r = a(1-e^2)/(1+e\sqrt{1-e^2\sin^2\theta})$

移项整理，得到：

$a = r(1+e\cos\theta)/(1-e^2)$

于是，已知$r$、$\theta$和$e$时，长轴的长度为：

$2a = 2r(1+e\cos\theta)/(1-e^2)$

这就是所求。