第1个回答 2010-08-10
函数概念的形成
微积分是以变量和函数作为研究对象的。但是微积分问世时，函数的一般定义还没有出现。随着数学研究范围的扩大，研究问题的深入，函数概念经历了由不全面到全面，不严密到严密的发展过程。
在17世纪，数学已经出现了三角函数，对数函数、指数函数、代数函数，超越函数等概念。当时还没有充分认识到函数概念。因此，17世纪引进的绝大部分函数是当作曲线来研究的。
最早给出函数概念的明确定义的是James Gregrory,1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。”这最后一句话的意思，据他解释是“除了五种代数运算外，必须加上第六种运算即趋于极限的运算。”Gregory的函数定义是一系列运算的组合。
莱布尼茨首次用“ function ” 一词表示幂，即 。1673年，他用 “ function ” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。
记号 是欧拉1743年引进的。当时，欧拉认为函数是一条可以随意描绘出的曲线。1748年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。
上述种种函数定义，用现在的观点看，无非是函数表示法中的解析表示法和图象表示法。
1775年欧拉又给出一个新的函数定义：
如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。
虽然18世纪对函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的。
从上述函数概念的发展变化过程可看出，这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象。
在18世纪，由于函数概念的较全面、较完整的定义尚未形成，因而，在理论和实践上产生了许多尖锐的矛盾。最具代表性的是描述弦振动的偏微分方程的解的形式问题。描述与反映弦振动的数学形式是一个二阶偏微分方程，它的解是一个函数，由于这个方程的解是一个一般的函数，因而引起了长达几十年的关于函数的争论。后来，富里埃用三角级数表示了这个解析表达式，并用积分形式确定了三角级数的系数。这一发现使人们认识到解析表达式和曲线之间是可以互相转化的。它们不是函数的本质，只是函数的表现形式。
1837年高斯和雅可比（1804-1851）的学生，黎曼的指导老师狄利克雷（1805-1859）给出了一个函数定义，这个定义与现代的工科数学教材的定义十分接近。他说：“如果对于某区间上的每一个确定的x值，按照某一法则y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x函数。”
狄利克雷的定义一方面继承了欧拉等人关于函数概念的精神，又打破了把“函数”和“解析式子”等同起来的局限性，抓住了两个变量对应关系的确定存在这一要害，而不管它是否可用数学运算来表达。从而使函数概念能更准确地描述各种互相依赖的变量之间的关系。但是随着科学技术及数学学科本身的发展，这个以变量概念作为函数概念的定义逐渐暴露出不足之处。20世纪初，又给出了下面的函数定义：“设x和y是两个非空集合，如果对于每个X中的元素x，依照某一法则，总有确定的一个Y中的y和它对应，这个对应法则就叫做函数”。这就是说，函数是非空集合X到非空集合Y的一个映射。
这个定义明显地不同于狄氏的定义，其一是用两个集合X和Y取代了定义在区间上的变量x和y，其二是将两个集合X和Y之间的确定的对应法则即映射叫做函数，而不是把某一变量叫做函数。
这个定义使我们可以将函数概念推广到以任何对象为元素的两个集合之间，这就极大地扩展了函数概念建立的基础，适应了现代数学对函数概念的需要。
从上面的介绍我们可以看到，函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间。从函数概念建立的过程我们可以看出，人们对函数概念的认识是随着科学和数学学科本身的不断发展、不断深入而不断深化、不断完善的。
注：“函数”一词的由来。1859年我国清代数学家李善兰翻译《代数学》一书时首先用“函数”一词翻译“function”一词，他解释说：“凡此变数函彼变数，则此为彼之函数”。中国古代用天、地、人、物表示未知数。李善兰译《代数学》中有“凡式中含天，为天之函数”这样的语句。
第2个回答 2010-08-16
函数概念的形成与发展
17世纪是工业生产和科学技术，飞速发展的时代。天文学、航海业和工业的发展，促进了数学的进一步研究与发展。当时人们把函数理解为变化的数量关系；把曲线理解为几何图像。
法国哲学家、数学家笛卡尔（R.Descartes 1596-1650）引入了坐标系，创立了解析几何。他把几何问题转化为代数问题。对此，恩格斯做出了高度的评价，恩格斯说：“数学中的转折点，是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学。”
英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿（I Newton
1642-1727）,以流数来定义描述连续的量（fluxion）的变化率，用以表示变量之间的函数。
函数（function）是德国哲学家、数学家布莱尼兹（G.W.Jeibniz，1646-1716）在1692年首先采用的。他用函数一词，表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量。并引入了常量、变量、参变量等的概念。
瑞士数学家欧拉（L.Euler,1707-1783）于1734年引入了函数符号f(x),并称变量的函数，是由一个公式确定的数量关系。他于1775年在微分学中写道：“如果某些量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面的变量也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数。”
1873年，德国数学家狄利克雷（P.G.L.Dirichlel,1805-1859),放弃了当时普遍接受的函数，是由数学符号和运算组成的表达方式的观点，提出了y=f(x)是x与y之间的一种对应的现代数学的观点。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。
在中国，函数一词是清代数学家李善兰（1811-1882）最初使用的。他在1859年与英国学者烈亚力（1815-1887）合译的《代数学》一书中，将“function”译作“函数”