一、留数的定义与留数定理
在探索圆周上负幂次函数积分的过程中，我们了解到，当积分路径围绕某个点 仅限于 时，积分非零，这个点被标记为函数的奇点。将函数 f(z) 展开为洛朗级数，奇点处的积分值关键取决于其负一次幂系数，即我们所说的留数，记为 Res(f, z₀)。若奇点是可去的，留数为零，Res(f, z₀) = 0。
留数定理揭示了神奇的联系
留数定理揭示了一个数学上的奇迹：函数沿闭合路径的积分，等于其所有孤立奇点留数的和。计算奇点处留数的捷径是求出洛朗展开的负一次幂系数，这使得复杂的积分问题简化为对特定系数的求解。
二、留数的计算实践
对于极点 z₀，我们可以利用公式 Res(f, z₀) = lim (z→z₀) [(z-z₀) * f(z)] 来计算留数。注意，准确判断极点的阶数至关重要，确保我们选取的极限不会低于实际的级数。
应用留数于实际问题
留数不仅在有理分式拆分中施展威力，如分解信号系统的拉普拉斯变换，还为我们提供了处理定积分的利器，特别是在处理三角函数的周角积分时。
三、无穷远点留数的秘密
无穷远点的留数计算方法多样。通过变换 z = 1/w，我们可以将问题转换为处理在有限域的孤立奇点。若函数在扩展复平面上的奇点有限，那么除无穷远点外的留数和为零，无穷远点留数的值可以通过求和剩余奇点留数的相反数得出。
例题解析
1. 计算例题：∫f(z) dz，其中 f(z) = (z-1) / (z^2 + 1)。注意，只有 z = i 在积分区域内，因此留数 Res(f, i) 决定了积分结果。
...（详细计算过程省略）
2.通过留数的加和，我们可以发现 ∑Res(f, z_n) 对于某些函数来说为零，这提示了无穷远点的留数为零。
...（具体示例计算）
3. 计算例题 ∫g(z) dz，利用留数定理简化问题。
...（解答步骤）
四、留数在定积分中的应用
通过巧妙地运用留数，我们可以解决关于偶函数的定积分问题，比如通过变量变换找到围道内唯一的奇点，进而求得留数，进而得出积分值。