在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线 C 1 ： 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 C 1 上的点到原点 O 的最
在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线 C 1 ： 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 C 1 上的点到原点 O 的最短距离为 ．以曲线 C 1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为 C 2 ．（1）求椭圆 C 2 的标准方程；（2）设 AB 是过椭圆 C 2 中心 O 的任意弦， l 是线段 AB 的垂直平分线． M 是 l 上的点（与 O 不重合）．①若 MO ＝2 OA ，当点 A 在椭圆 C 2 上运动时，求点 M 的轨迹方程；②若 M 是 l 与椭圆 C 2 的交点，求△ AMB 的面积的最小值．
（1） ;（2）① ;② ． |
| 试题分析：（1）对于曲线 C 1 ：  的处理，关键问题是两个绝对值的处理，根据x,y的特点，不难发现与坐标系中的四个象限有关，进而即可得到 ，即可得出椭圆方程; （2）①由 l 是线段 AB 的垂直平分线，可转化为： ，又由MO＝2OA，可转化得到： ，这样的好处是两条件均转化为向量了，设出点M和点A的坐标即可得到关系： 解出 再利用点M在所求椭圆上即可求出： ;②中要求△ AMB 的面积的最小值，根据此地三角形的特点，不难想到直线AB的设出，根据斜率是否存在，可先考虑两种特殊情况：一种不存在;另一种为0，再考虑一般情形，运用方程组思想即可得： 和 ，进而表示出面积： ，最后结合不等式知识即可求出最小值．试题解析：（1）由题意得 又 ，解得 ， ． 因此所求椭圆的标准方程为 ． 4分（2）①设  ， ，则由题设知： ， ．即 解得 8分因为点 在椭圆 C 2 上，所以 ，即  ，亦即 ．所以点 M 的轨迹方程为 ． 10分②假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为 y ＝ kx ( k ≠0)． 解方程组  得 ， ，所以  ， .又  解得 ，
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