动点问题

Question

如图在直角三角形acb中角c等于90度ac等于30cmbc等于25cm动点p从点c出发沿ca方向运动，速度为2cm/s动点q从b出发沿bc方向运动，速度是1cm/s几秒后p,q相距25cm

Answer 1

由P，Q点的运动速度及轨迹，可以展开以下分析：
连接BD交AC于O点，AC=6cm，当P运动到O点之前，显然，PA=1cm/s *x(s)=x(cm)(以下计算皆省略x的单位s，y的单位为平方厘米,线段的长为厘米）PB=2*x=2x，已知在△PAQ中，∠PAQ=60度，所以在△PAQ中运用余弦定理可求得PQ=√3x，再根据正弦定理可得出∠APQ=90度，当P运动到与O重合时，x=3,2x=6，也就是说，此时Q点恰好落在B处，所以，当x∈[0,3]时，y的面积为三角形APQ，有y=(1/2)*AP*PQ=(√3/2)x^
当P过O点继续向C点前进时，Q也迈过B点向C点前进，此时AP依然等于x，CP=CA-AP=6-x，而此时CQ=BC-QB=BC-(2x-AB)=12-2x，在△CPQ中，可用正余弦定理得出∠CPQ=90度，PQ=√3*(6-x)也就是说，而当x=6时，CP=CQ=0，也就是说，此时P，Q两点相遇，由此第1问得解

在P属于OC上即x∈[3,6]时，因为∠APQ是直角，故有y=S△PAQ=(1/2)*AP*PQ
=-√3x^/2+3√3x

P，Q继续前进，P向B运动，Q向D运动，由于CD=BC，且P，Q同时从C出发，不难得出，当Q达到D点时，P恰好走到BC中点，此时x=AC+CP=6+3=9,也就是说，当x∈[6，9]时，函数y的解析式又会发生变化，有CP=x-6,QC=2(x-6)
设PQ交AC于E点，此时的y相当于△APE的面积，S△CPQ=(1/2)*CQ*CP*sin∠QCP
=√3(x-6)^/2，而在△CEQ与△CEP中，公共边为CE，∠ECQ=∠ECP=60度，根据三角形面积公式有：S△CEQ/S△CEP=CQ/CP=2,而两个三角形相加恰好是△PCQ的面积，于是可以得出S△CEP=√3(x-6)^/6
而P到AC的距离可以利用三角关系求出是√3(x-6)/2，于是
S△APC=（1/2）*6*√3(x-6)/2=3√3(x-6)/2
所以有y=S△APE=S△APC-S△PCE=-√3x^/6 + 7√3x/2 - 15√3
所以第三问到这里迎刃而解

最后求第二问：
连接AQ，当△APQ是等边三角形时，有AQ=AP，∠QAP=60度，∠QAD=∠DAC-∠QAC,∠CAP=∠QAP-∠QAC,于是在△APC与△DAQ中，AD=AC，AQ=AP，∠QAD=∠CAP，所以两个三角形全等，于是有DQ=PC，而DQ=6*3-2x,PC=x-6,可以得出x=8

综上：
1.相遇时间为6秒
2.8秒
3.y=(√3/2)x^， x∈[0,3)，
y=-√3x^/2+3√3x， x∈[3,6),
y=-√3x^/6 + 7√3x/2 - 15√3, x∈[6,9]