齐次线性方程组为什么只有零解

Question

如题所述

Answer 1

这么说吧，齐次线性方程组只有两种解，非零解和零解。而齐次线性方程解有一个特点,那就是解的线性组合还是该齐次线性方程的解，比如a是它的一个解，那么k·a(k∈R)还是它的解，那么对于非零解和零解来看，如果a是非零解，既a不等于零的话，a可以随意乘k，既非零解的情况下有无数种解的取法；但对于零解来看，既a=0，k·a还是等于0，a怎么乘k都是0，既零解的情况下只有0一种解。
然后行列式与齐次线性方程组的解之间的关系可以由克莱姆法则来体现：当线性方程组的系数矩阵的行列式（这里既为齐次线性方程组的系数矩阵的行列式）的值不为0时，该方程组有唯一解。那么对应上面的来看，对于齐次线性方程组来讲，如果是只有唯一解的情况的话，那么只有解等于0才能满足唯一解的条件，所以在齐次线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0时该齐次线性方程组只有零解咯。
补充一下：用克莱姆法则有个前提，n个n元的线性方程组，既该线性方程组的系数矩阵必须是方阵。