（Ⅰ）（20分）在复数范围内解方程 (i为虚数单位)（Ⅱ）设z是虚数，ω=z+ 是实数，且－1＜ω＜2 （1）

Question

（Ⅰ）（20分）在复数范围内解方程 (i为虚数单位)（Ⅱ）设z是虚数，ω=z+ 是实数，且－1＜ω＜2 （1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（10分）（2）设u= ，求证：u为纯虚数；（5分）（3）求ω－u 2 的最小值,（5分）

Answer 1

（Ⅰ）原方程化简为 , 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x 2 +y 2 +2xi="1-i," ∴x 2 +y 2 =1且2x=-1,解得x=- 且y=± , ∴原方程的解是z=- ± i. （Ⅱ）（1）设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)， 则ω=a+bi+ =(a+ )+(b－ )i ∵ω是实数，∴ ,又∵b≠0，∴a 2 +b 2 =1，即|z|=1 ∵ω=2a，－1＜ω＜2，∴z的实部的取值范围是(－ ，1) （2）证明：u= = = = 由（1）知a 2 +b 2 =1,∴u=－ I,又∵a∈(－ ，1)，b≠0， ∴u为纯虚数 （3）解：ω－u 2 =2a+ =2a+ =2a－ =2a－1+ =2［(a+1)+ ］－3 ∵a∈(－ ，1)，∴a+1＞0, ∴(a+1)+  ≥2(当a+1= ，即a=0时，上式取等号.) ∴ω－u 2 ≥2×2－3=1,∴ω－u 2 的最小值为1.

略