已知两个自然数的和是54，最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个数

Question

如题所述

Answer 1

已知两个自然数的和是54，最小公倍数与最大公约数的差是114，这两个数分别是24和30。

本题考查最小公倍数与最大公约数的知识，解题方法如下：

1、根据题意列出等式，并由此求出两数的最大公约数的取值范围是完成本题的关键。

解：设两个自然数为X和Y，则 X=ab，Y=cb，且由题可知a，b，c都是正整数：

则ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9，abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19。

2、因为a、b、c都是正整数，所以b可能是2或3或6。经检验，b为2或3a，c都无正整数解，所以b只能是6，由此可知a=4，c=5。所以 ：

X=ab=24

Y=cb=30

答：这两个数分别为24，30。

扩展资料

最小公倍数计算方法：

1、分解质因数法：先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。

2、公式法：由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a、b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。

Answer 2

设最大公约数是m，这两个数是am，bm
这里a，b互质,不妨a≤b，最小公倍数是abm
am+bm=(a+b)m=54 （1）
abm-m=(ab-1)m=114 （2）
所以m是54和114的公约数，而两者的最大公约数是6，所以m可能为1,2,3,6
若m=1，代入（2）
ab=113=1x113，a=1，b=113，不满足（1）
若m=2，代入（2）
ab=58=1x58=2x29，即a=1，b=58或a=2，b=29，都不符合（1）也舍去
若m=3，代入（2）
ab=39=1x39=3x13， 即a=1，b=39或a=3，b=13，都不符合（1）也舍去
若m=6，代入（2）
ab=20=1x20=4x5 （因为2x10两个数不互质故不能取）
只有a=4，b=5才是唯一解
所以两个数是24和30